Calcule os autovalores dos seguintes operadores lineares T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}. Em seguida obtenha uma base para cada autoespaço e diga se o operador é diagonalizável. Em caso positivo, determine uma base \beta em que [T]_{\beta}^{\beta} é diagonal e escreva essa matriz. T(x, y, z)=(3 x, 2 y-z,-y+2 z)
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(3x,\;2y-z,\;-y+2z).
Pede-se:
Calcular os autovalores (eigenvalues) de T.
Para cada autovalor obter uma base do autoespaço correspondente (autovetores).
Dizer se T é diagonalizável.
Se for diagonalizável, determinar uma base \beta em que [T]_{\beta}^{\beta} é diagonal e escrever essa matriz.
Informações fornecidas resumidas:
Regra de T sobre coordenadas (x,y,z) conforme escrito acima.
Não há outras informações externas; trabalhar no espaço padrão \mathbb{R}^3.
Passo 2
Passo inicial prático: escrever a matriz de T na base canônica \mathcal{E}=\{e_1,e_2,e_3\} (onde e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)). Aplicando T às bases canônicas:
Definição rápida e o que vamos usar: um autovalor \lambda satisfaz \det(A-\lambda I)=0. Calculamos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Primeira equação: 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0 (nenhuma restrição em x).
Segunda e terceira: -y-z=0 (ambas equivalentes), ou seja y=-z.
Portanto vetores próprios têm forma (x,y,-y)=x(1,0,0)+y(0,1,-1). O autoespaço tem dimensão 2 e uma base conveniente é
\{(1,0,0),\;(0,1,-1)\}.]
Passo 6
Critério de diagonalizabilidade: uma matriz n\times n é diagonalizável sobre \mathbb{R} se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) soma-se às demais e totaliza n; equivalently, para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Aqui:
Para \lambda=1: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1.
Para \lambda=3: multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2.
As dimensões dos autoespaços somam 1+2=3, que é \dim\mathbb{R}^3. Portanto A (e T) é diagonalizável.
Passo 7
Construir uma base \beta formada por autovetores (ordem escolhida arbitrariamente, mas conveniente agrupar autovetores do mesmo autovalor). Uma escolha natural:
Autovalores: \;3 (multiplicidade algébrica 2), \;1 (multiplicidade algébrica 1).
Base do autoespaço de \lambda=1: \;\{(0,1,1)\}.
Base do autoespaço de \lambda=3: \;\{(1,0,0),\,(0,1,-1)\}. T é diagonalizável.
Uma base \beta de autovetores: \;\{(1,0,0),\;(0,1,-1),\;(0,1,1)\}.
Matriz diagonal [T]_{\beta}^{\beta}: