Determine o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz o que se pede
T tem autovalores 4, 3 e -1 , com autoespaços W_{4}=<(1,0,0)>, W_{3}=<(0,-1,1)>\mathrm{e} W_{-1}=\langle(0,1,1)\rangle

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que tem autovalores 4,3,-1 com respectivos autoespaços
W_{4}=\langle(1,0,0)\rangle,\qquad W_{3}=\langle(0,-1,1)\rangle,\qquad W_{-1}=\langle(0,1,1)\rangle.
Informações relevantes dadas:
  • Um vetor próprio associado a 4 é v_1=(1,0,0).
  • Um vetor próprio associado a 3 é v_2=(0,-1,1).
  • Um vetor próprio associado a -1 é v_3=(0,1,1).
    O objetivo prático: determinar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 (ou uma descrição equivalente do operador).

Passo 2

Ideia-chave (explicada devagar): se três vetores próprios formam uma base de \mathbb{R}^3 então T é diagonalizável e sua matriz na base canônica é
A = P D P^{-1},
onde P tem como colunas os vetores próprios v_1,v_2,v_3 escritos na base canônica, e D é a matriz diagonal com os autovalores correspondentes na mesma ordem. Aqui
P=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\[4pt]0 & 3 & 0\\[4pt]0 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Antes de aplicar a fórmula precisamos verificar que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes (ou seja que P é invertível).]

Passo 3

Verificação de independência (detalhada e direta): calcular o determinante de P. Como a primeira coluna é (1,0,0), o determinante é
\det(P)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot\big((-1)\cdot 1 - 1\cdot 1\big) = -2\neq 0.
Portanto P é invertível e v_1,v_2,v_3 formam uma base. Assim podemos usar A=PD P^{-1} e o operador T é único com essas propriedades (a ordem dos vetores nas colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores em D).]

Passo 4

Para usar A=PD P^{-1} precisamos de P^{-1}. Em vez de calcular a inversa por fórmulas pesadas, vou resolver o sistema P c = x explicitamente para obter c=P^{-1}x. Seja x=(x_1,x_2,x_3) e c=(c_1,c_2,c_3). Escrevendo P c componente a componente:
\begin{cases} c_1 = x_1,\\[4pt] - c_2 + c_3 = x_2,\\[4pt] c_2 + c_3 = x_3. \end{cases}
Das duas últimas equações somando e subtraindo obtemos:
2c_3 = x_2 + x_3 \quad\Rightarrow\quad c_3=\dfrac{x_2+x_3}{2},
2c_2 = x_3 - x_2 \quad\Rightarrow\quad c_2=\dfrac{x_3-x_2}{2}.
Logo
c = P^{-1}x = \begin{pmatrix} x_1\\[4pt] \dfrac{x_3-x_2}{2}\\[6pt] \dfrac{x_2+x_3}{2} \end{pmatrix}.
Isto corresponde à matriz inversa
P^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora podemos calcular A=PD P^{-1}. Em vez de multiplicar diretamente as três matrizes, uma forma muito didática é usar T sobre os vetores da base canônica e_1,e_2,e_3: as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Para cada x fazemos c=P^{-1}x, depois T(x)=P D c. Vou calcular coluna a coluna.

Passo 6

Cálculo da primeira coluna: x=e_1=(1,0,0).
c=P^{-1}e_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Aplica-se D: D c=(4\cdot1,3\cdot0,-1\cdot0)^{T}=(4,0,0)^{T}. Finalmente T(e_1)=P(Dc)=4\cdot v_1=(4,0,0).
Portanto a primeira coluna de A é (4,0,0)^T.]

Passo 7

Cálculo da segunda coluna: x=e_2=(0,1,0).
c=P^{-1}e_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{0-1}{2}\\[6pt]\dfrac{1+0}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[6pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Aplica-se D: D c=(0,3\cdot(-\tfrac{1}{2}),-1\cdot\tfrac{1}{2})^{T}=(0,-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2})^{T}.
Agora T(e_2)=P(Dc)=(-\tfrac{3}{2})v_2+(-\tfrac{1}{2})v_3. Calculando:
(-\tfrac{3}{2})v_2+(-\tfrac{1}{2})v_3 =(-\tfrac{3}{2})(0,-1,1)+(-\tfrac{1}{2})(0,1,1) =(0,\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}) =(0,1,-2).
Portanto a segunda coluna de A é (0,1,-2)^T.]

Passo 8

Cálculo da terceira coluna: x=e_3=(0,0,1).
c=P^{-1}e_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{1-0}{2}\\[6pt]\dfrac{0+1}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[6pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Aplica-se D: D c=(0,3\cdot\tfrac{1}{2},-1\cdot\tfrac{1}{2})^{T}=(0,\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2})^{T}.
Agora T(e_3)=P(Dc)=(\tfrac{3}{2})v_2+(-\tfrac{1}{2})v_3. Calculando:
(\tfrac{3}{2})v_2+(-\tfrac{1}{2})v_3 =(\tfrac{3}{2})(0,-1,1)+(-\tfrac{1}{2})(0,1,1) =(0,-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}) =(0,-2,1).
Portanto a terceira coluna de A é (0,-2,1)^T.]

Passo 9

Juntando as colunas calculadas, a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (checada durante os cálculos): A v_1 = 4 v_1, A v_2 = 3 v_2 e A v_3 = -1 v_3, conforme pedido.]

Resposta

\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

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