Determine o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz o que se pede T tem autovalores 4, 3 e -1 , com autoespaços W_{4}=<(1,0,0)>, W_{3}=<(0,-1,1)>\mathrm{e} W_{-1}=\langle(0,1,1)\rangle
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que tem autovalores 4,3,-1 com respectivos autoespaços
Um vetor próprio associado a -1 é v_3=(0,1,1).
O objetivo prático: determinar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 (ou uma descrição equivalente do operador).
Passo 2
Ideia-chave (explicada devagar): se três vetores próprios formam uma base de \mathbb{R}^3 então T é diagonalizável e sua matriz na base canônica é
A = P D P^{-1},
onde P tem como colunas os vetores próprios v_1,v_2,v_3 escritos na base canônica, e D é a matriz diagonal com os autovalores correspondentes na mesma ordem. Aqui
Portanto P é invertível e v_1,v_2,v_3 formam uma base. Assim podemos usar A=PD P^{-1} e o operador T é único com essas propriedades (a ordem dos vetores nas colunas de P deve corresponder à ordem dos autovalores em D).]
Passo 4
Para usar A=PD P^{-1} precisamos de P^{-1}. Em vez de calcular a inversa por fórmulas pesadas, vou resolver o sistema P c = x explicitamente para obter c=P^{-1}x. Seja x=(x_1,x_2,x_3) e c=(c_1,c_2,c_3). Escrevendo P c componente a componente:
Agora podemos calcular A=PD P^{-1}. Em vez de multiplicar diretamente as três matrizes, uma forma muito didática é usar T sobre os vetores da base canônica e_1,e_2,e_3: as colunas de A são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Para cada x fazemos c=P^{-1}x, depois T(x)=P D c. Vou calcular coluna a coluna.