Determine o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz o que se pede
T tem autovalores 2 e 0 , com autoespaços W_{2}=<(0,-1,1),(1,0,0)> e W_{0}=<(0,1,1)>

Passo 1

O enunciado pede determinar o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaça as seguintes informações dadas:
  • T tem autovalores 2 e 0.
  • O autoespaço associado ao autovalor 2 é W_{2}=\langle(0,-1,1),(1,0,0)\rangle.
  • O autoespaço associado ao autovalor 0 é W_{0}=\langle(0,1,1)\rangle.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vetores (0,-1,1) e (1,0,0) são autovetores de T com autovalor 2.
  • O vetor (0,1,1) é autovetor de T com autovalor 0.
  • O objetivo é determinar explicitamente T (por exemplo, sua matriz na base canônica de \mathbb{R}^{3} ou uma fórmula para T(x,y,z)).

Passo 2

Verificar se os três vetores dados formam uma base de \mathbb{R}^{3}\) (ou seja, se são linearmente independentes). Denote \[v_1=(0,-1,1),\qquad v_2=(1,0,0),\qquad v_3=(0,1,1).
Para testar independência, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \text{componente }x: & 0\cdot a + 1\cdot b + 0\cdot c = b = 0,\\[4pt] \text{componente }y: & -1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c = -a + c = 0,\\[4pt] \text{componente }z: & 1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c = a + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação b=0\]. Das outras duas somando-se e subtraindo-se obtém-se \(2a=0\Rightarrow a=0 e então c=0. Logo a=b=c=0. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]

Passo 3

Explicar o método: como temos uma base formada por autovetores, a definição de T é simples e única por extensão linear. Para qualquer autovetor v com autovalor \lambda vale T(v)=\lambda v. Então determinamos T nas três vetores da base e estendemos linearmente para toda \mathbb{R}^{3}. Em seguida vamos obter a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1).

Passo 4

Atribuir T diretamente aos autovetores dados:
T(v_1)=2v_1=2(0,-1,1)=(0,-2,2), \qquad T(v_2)=2v_2=2(1,0,0)=(2,0,0), \qquad T(v_3)=0\cdot v_3=(0,0,0).

Passo 5

Para montar a matriz de T na base canônica precisamos das imagens de e_1,e_2,e_3. Observamos que v_2=e_1, portanto já temos
T(e_1)=T(v_2)=(2,0,0).
Agora expressamos e_2 e e_3 em função de v_1 e v_3. Das definições,
v_1=-e_2+e_3,\qquad v_3=e_2+e_3.
Resolva esse sistema para e_2,e_3. Somando as duas igualdades:
v_1+v_3 = 2e_3 \quad\Rightarrow\quad e_3=\tfrac{1}{2}(v_1+v_3).
Subtraindo:
v_3-v_1 = 2e_2 \quad\Rightarrow\quad e_2=\tfrac{1}{2}(v_3-v_1).

Passo 6

Aplicar T a e_2 e e_3 usando linearidade e as imagens de v_1,v_3:
T(e_2)=\tfrac{1}{2}\big(T(v_3)-T(v_1)\big)=\tfrac{1}{2}\big(0-(2v_1)\big)=-v_1=-(0,-1,1)=(0,1,-1),
T(e_3)=\tfrac{1}{2}\big(T(v_1)+T(v_3)\big)=\tfrac{1}{2}\big(2v_1+0\big)=v_1=(0,-1,1).

Passo 7

Agora formamos a matriz de T na base canônica: as colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3). Assim
A=[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: para v_1=(0,-1,1) temos A v_1=(0,-2,2)=2v_1 e para v_3=(0,1,1) temos A v_3=(0,0,0)=0\cdot v_3, coerente com os autovalores.]

Passo 8

Também podemos escrever a ação de T diretamente em coordenadas: para x=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x\\[4pt] y - z\\[4pt] -y + z\end{pmatrix}.
Essa fórmula é útil para aplicar T sem multiplicar matrizes.]

Resposta

[T]_{\text{can}}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
\text{Equivalente: }T(x,y,z)=\bigl(2x,\;y-z,\;-y+z\bigr).]

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