Determine o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz o que se pede T tem autovalores 2 e 0 , com autoespaços W_{2}=<(0,-1,1),(1,0,0)> e W_{0}=<(0,1,1)>
Passo 1
O enunciado pede determinar o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que satisfaça as seguintes informações dadas:
T tem autovalores 2 e 0.
O autoespaço associado ao autovalor 2 é W_{2}=\langle(0,-1,1),(1,0,0)\rangle.
O autoespaço associado ao autovalor 0 é W_{0}=\langle(0,1,1)\rangle.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Os vetores (0,-1,1) e (1,0,0) são autovetores de T com autovalor 2.
O vetor (0,1,1) é autovetor de T com autovalor 0.
O objetivo é determinar explicitamente T (por exemplo, sua matriz na base canônica de \mathbb{R}^{3} ou uma fórmula para T(x,y,z)).
Passo 2
Verificar se os três vetores dados formam uma base de \mathbb{R}^{3}\) (ou seja, se são linearmente independentes). Denote
\[v_1=(0,-1,1),\qquad v_2=(1,0,0),\qquad v_3=(0,1,1).
Para testar independência, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \text{componente }x: & 0\cdot a + 1\cdot b + 0\cdot c = b = 0,\\[4pt] \text{componente }y: & -1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c = -a + c = 0,\\[4pt] \text{componente }z: & 1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c = a + c = 0. \end{cases}
Da primeira equação b=0\]. Das outras duas somando-se e subtraindo-se obtém-se \(2a=0\Rightarrow a=0 e então c=0. Logo a=b=c=0. Portanto v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]
Passo 3
Explicar o método: como temos uma base formada por autovetores, a definição de T é simples e única por extensão linear. Para qualquer autovetor v com autovalor \lambda vale T(v)=\lambda v. Então determinamos T nas três vetores da base e estendemos linearmente para toda \mathbb{R}^{3}. Em seguida vamos obter a matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, onde e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1).