Calcule:
(b) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} se y=f(x) é dada implicitamente por x \cdot \operatorname{cosh} (y)=y-1.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
x\cdot\operatorname{cosh}(y)=y-1,
onde y=f(x) é uma função de x. A pergunta é: calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, isto é, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes que temos:
A equação relaciona x e y implicitamente (não temos y isolado).
Vamos precisar diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x (ou seja, ao derivar expressões com y usamos a regra da cadeia).
Passo 2
Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a x. No lado esquerdo temos um produto x\cdot\operatorname{cosh}(y), então aplico a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\operatorname{cosh}(y(x)), então
Agora aplico a regra da cadeia para \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\operatorname{cosh}(y)\big). A derivada de \operatorname{cosh}(u) em relação a u é \operatorname{sinh}(u). Como u=y(x), pela regra da cadeia: