Calcule:
(b) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} se y=f(x) é dada implicitamente por x \cdot \operatorname{cosh} (y)=y-1.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x\cdot\operatorname{cosh}(y)=y-1,
onde y=f(x) é uma função de x. A pergunta é: calcular \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, isto é, a derivada de y em relação a x.
Informações relevantes que temos:
  • A equação relaciona x e y implicitamente (não temos y isolado).
  • Vamos precisar diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y depende de x (ou seja, ao derivar expressões com y usamos a regra da cadeia).

Passo 2

Diferencio ambos os lados da igualdade em relação a x. No lado esquerdo temos um produto x\cdot\operatorname{cosh}(y), então aplico a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\operatorname{cosh}(y(x)), então
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x\operatorname{cosh}(y)\big)=\underbrace{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x}_{=1}\cdot\operatorname{cosh}(y)+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\operatorname{cosh}(y)\big).
No lado direito, \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y-1)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-0=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
Portanto a diferenciação dá:
\operatorname{cosh}(y)+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\operatorname{cosh}(y)\big)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Passo 3

Agora aplico a regra da cadeia para \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\operatorname{cosh}(y)\big). A derivada de \operatorname{cosh}(u) em relação a u é \operatorname{sinh}(u). Como u=y(x), pela regra da cadeia:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\operatorname{cosh}(y)\big)=\operatorname{sinh}(y)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
Substituindo isso na igualdade do passo anterior:
\operatorname{cosh}(y)+x\cdot\operatorname{sinh}(y)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Passo 4

Agora isolo \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. Coloco todos os termos com \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} de um lado:
\operatorname{cosh}(y)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-x\cdot\operatorname{sinh}(y)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
Fatorando \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} no lado direito:
\operatorname{cosh}(y)=\left(1 - x\cdot\operatorname{sinh}(y)\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.

Passo 5

Finalmente, divido pelos fatores que multiplicam \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} para obter a expressão explícita:
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\operatorname{cosh}(y)}{1 - x\cdot\operatorname{sinh}(y)},
observando que esta fórmula vale desde que o denominador 1-x\cdot\operatorname{sinh}(y) seja diferente de zero.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\operatorname{cosh}(y)}{1-x\,\operatorname{sinh}(y)}

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