Determine as seguintes equações (Utilizar as propriedades de somatório), sabendo-se que os valores de X e Y são:
\triangle \int_{i=1}^{5} x_{i}=28
\sum_{i=1}^{5} Y_{i}=24
\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}=174
a) \quad \sum_{i=1}^{5} 4 X_{i}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (aqui peguei esses valores do enunciado):
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_{i}=28
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} Y_{i}=24
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=174
O que o item (a) pede:
  • Calcular \displaystyle \sum_{i=1}^{5} 4X_{i}.
(Observação: vou assumir que X_{i} no item (a) refere-se ao mesmo vetor cujos valores são dados por \{x_{i}\} acima.)

Passo 2

Propriedade de somatório que vamos usar (linearidade): para qualquer constante c e quaisquer termos a_{i},
\sum_{i=1}^{n} c\,a_{i}=c\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
Explicação elementar dessa propriedade: escrevendo a soma termo a termo,
\sum_{i=1}^{n} c\,a_{i}=c\,a_{1}+c\,a_{2}+\cdots+c\,a_{n},
e como c é comum a todos os termos, pode-se fatorá‑lo:
c\,a_{1}+c\,a_{2}+\cdots+c\,a_{n}=c\,(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})=c\sum_{i=1}^{n}a_{i}.
Um exemplo rápido: \sum_{i=1}^{3}2a_{i}=2(a_{1}+a_{2}+a_{3}).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso com c=4 e a_{i}=x_{i}:
\sum_{i=1}^{5}4X_{i}=4\sum_{i=1}^{5}X_{i}.
Usando o dado \displaystyle \sum_{i=1}^{5}x_{i}=28 (assumindo X_{i}=x_{i}), temos
4\sum_{i=1}^{5}X_{i}=4\cdot 28.
Agora faça a multiplicação passo a passo: 4\cdot 28=4\cdot(20+8)=80+32=112.

Passo 4

Resumo do raciocínio: puxou‑se o fator 4 para fora da soma por linearidade do somatório e substituiu‑se pelo valor conhecido da soma dos x_{i}, então multiplicou‑se para obter o resultado final.

Resposta

\,112

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