Calcule:
\bigcap_{x \in[1,+\infty)}\left(-\frac{1}{x}, \frac{1}{x}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a interseção
\bigcap_{x\in[1,+\infty)}\left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
  • Temos uma família de intervalos centrados em zero, indexada por x que varia em [1,+\infty).
  • Cada conjunto da família é o intervalo aberto \left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right).
    O que se pede:
  • Determinar o conjunto de todos os pontos que pertencem a todos esses intervalos ao mesmo tempo (ou seja, a interseção).

Passo 2

Entendendo o que significa pertencer à interseção: um número y pertence a
\bigcap_{x\in[1,+\infty)}\left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right)
se, e somente se, para todo x\in[1,+\infty) vale
-\frac{1}{x}<y<\frac{1}{x}.
Isto é, y deve estar dentro de cada intervalo \left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right).

Passo 3

Mostrando que 0 pertence à interseção: para qualquer x\in[1,+\infty) temos
-\frac{1}{x}<0<\frac{1}{x},
logo 0 pertence a cada intervalo \left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right). Portanto 0 pertence à interseção.

Passo 4

Mostrando que nenhum número positivo y>0 pertence à interseção: tome um y>0. Como o conjunto de índices [1,+\infty) é ilimitado para cima, existe x\in[1,+\infty) tal que
x>\frac{1}{y}.
Para esse x temos \frac{1}{x}<y. Assim
\left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right)
não contém y, porque \frac{1}{x}<y. Portanto y não pertence à interseção (pois falta pertencer a pelo menos um dos intervalos). Exemplo numérico para intuir: se y=0,2 então escolha x=6>1/0,2=5; como 1/6\approx0,166<0,2, esse intervalo já exclui y.

Passo 5

Mostrando que nenhum número negativo y<0 pertence à interseção: o argumento é análogo ao caso positivo, usando |y|. Tome y<0. Existe x\in[1,+\infty) tal que
x>\frac{1}{|y|},
logo \frac{1}{x}<|y| e portanto -\frac{1}{x}>y. Isso significa que y\notin\left(-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\right), logo y não pertence à interseção.

Passo 6

Conclusão: já mostramos que 0 pertence à interseção e que nenhum y\neq0 (nem positivo, nem negativo) pertence à interseção. Portanto a interseção é exatamente o conjunto formado pelo zero.

Resposta

\{0\}

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