Calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a interseção
Informações dadas:
- Temos uma família de intervalos centrados em zero, indexada por
que varia em . - Cada conjunto da família é o intervalo aberto
.
O que se pede: - Determinar o conjunto de todos os pontos que pertencem a todos esses intervalos ao mesmo tempo (ou seja, a interseção).
Passo 2
Entendendo o que significa pertencer à interseção: um número
pertence a
se, e somente se, para todo
vale
Isto é,
deve estar dentro de cada intervalo
.
Passo 3
Mostrando que
pertence à interseção: para qualquer
temos
logo
pertence a cada intervalo
. Portanto
pertence à interseção.
Passo 4
Mostrando que nenhum número positivo
pertence à interseção: tome um
. Como o conjunto de índices
é ilimitado para cima, existe
tal que
Para esse
temos
. Assim
não contém
, porque
. Portanto
não pertence à interseção (pois falta pertencer a pelo menos um dos intervalos). Exemplo numérico para intuir: se
então escolha
; como
, esse intervalo já exclui
.
Passo 5
Mostrando que nenhum número negativo
pertence à interseção: o argumento é análogo ao caso positivo, usando
. Tome
. Existe
tal que
logo
e portanto
. Isso significa que
, logo
não pertence à interseção.
Passo 6
Conclusão: já mostramos que
pertence à interseção e que nenhum
(nem positivo, nem negativo) pertence à interseção. Portanto a interseção é exatamente o conjunto formado pelo zero.