Calcule:
\bigcup_{x \in[1,2]}\left(\frac{1}{x+1}, \frac{1}{x}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular a união
\bigcup_{x \in[1,2]}\left(\frac{1}{x+1}, \frac{1}{x}\right).
Informações dadas e o que precisamos identificar:
  • Para cada x em [1,2] temos um intervalo aberto \left(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}\right).
  • Queremos o conjunto de todos os pontos y\in\mathbb{R} que pertencem a pelo menos um desses intervalos, ou seja o conjunto \{y: \exists x\in[1,2]\text{ tal que } \frac{1}{x+1}<y<\frac{1}{x}\}.
  • Dados numéricos retirados diretamente do enunciado: em x=1 o intervalo é \left(\frac{1}{2},1\right) e em x=2 o intervalo é \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).

Passo 2

Entender como variam as extremidades quando x percorre [1,2].
  • A função x\mapsto\frac{1}{x} é decrescente para x>0. Logo, quando x vai de 1 até 2, \frac{1}{x} vai de 1 até \tfrac{1}{2}, isto é \frac{1}{x}\in\left[\tfrac{1}{2},1\right].
  • A função x\mapsto\frac{1}{x+1} também é decrescente para x>-1. Então, quando x vai de 1 até 2, \frac{1}{x+1} vai de \tfrac{1}{2} até \tfrac{1}{3}, isto é \frac{1}{x+1}\in\left[\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2}\right].
  • Portanto, todos os intervalos têm extremos entre \tfrac{1}{3} e 1. Isso sugere que a união ficará dentro de \left(\tfrac{1}{3},1\right). A seguir vamos provar isso formalmente e também que não sobra nenhum ponto de \left(\tfrac{1}{3},1\right) fora da união.

Passo 3

Provar a inclusão
\displaystyle \bigcup_{x \in[1,2]}\left(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}\right)\subseteq\left(\frac{1}{3},1\right).
Se y pertence à união então existe x\in[1,2] com
\displaystyle \frac{1}{x+1}<y<\frac{1}{x}.
Da desigualdade y<\frac{1}{x} e como x\ge 1 obtemos y<1.
Da desigualdade \frac{1}{x+1}<y e como x\le 2 obtemos \frac{1}{3}\le\frac{1}{x+1}<y, logo y>\frac{1}{3}.
Combinando, \frac{1}{3}<y<1. Assim qualquer elemento da união pertence a \left(\tfrac{1}{3},1\right), provando a inclusão desejada.

Passo 4

Provar a inclusão inversa
\displaystyle \left(\frac{1}{3},1\right)\subseteq \bigcup_{x \in[1,2]}\left(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}\right).
Tome um y arbitrário com \displaystyle \frac{1}{3}<y<1. Vamos mostrar que existe x\in[1,2] tal que \frac{1}{x+1}<y<\frac{1}{x}.
Reescrevemos as desigualdades em termos de x:
\displaystyle \frac{1}{x+1}<y é equivalente a \displaystyle x+1>\frac{1}{y}, isto é \displaystyle x>\frac{1}{y}-1.
\displaystyle y<\frac{1}{x} é equivalente a \displaystyle x<\frac{1}{y}.
Portanto y pertence a \left(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}\right) exatamente quando
\displaystyle x\in\left(\frac{1}{y}-1,\frac{1}{y}\right).
Agora verificamos que esse intervalo de x intersecta [1,2]. Note que, como y<1, tem-se \displaystyle \frac{1}{y}>1, logo o extremo direito \frac{1}{y} é maior que 1. E como y>\frac{1}{3}, tem-se \displaystyle \frac{1}{y}<3, logo o extremo esquerdo \frac{1}{y}-1<2. Assim o intervalo aberto \left(\frac{1}{y}-1,\frac{1}{y}\right) tem extremidade direita maior que 1 e extremidade esquerda menor que 2, o que garante que sua interseção com [1,2] é não vazia. Em palavras mais simples: o intervalo tem comprimento 1 e fica entre números menores que 3 e maiores que 0, portanto sempre cruza o segmento [1,2] quando y\in\left(\tfrac{1}{3},1\right).
Como a interseção é não vazia, existe x\in[1,2] com
\displaystyle x\in\left(\frac{1}{y}-1,\frac{1}{y}\right), e para esse x temos \displaystyle \frac{1}{x+1}<y<\frac{1}{x}. Logo y pertence à união. Isso prova a inclusão inversa.

Passo 5

Concluímos pelas inclusões mostradas nos passos anteriores que
\bigcup_{x \in[1,2]}\left(\frac{1}{x+1},\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{3},1\right).

Resposta

\left(\frac{1}{3},1\right)

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