Calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a união
.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
Informações dadas e o que precisamos identificar:
- Para cada
em temos um intervalo aberto . - Queremos o conjunto de todos os pontos
que pertencem a pelo menos um desses intervalos, ou seja o conjunto . - Dados numéricos retirados diretamente do enunciado: em
o intervalo é e em o intervalo é .
Passo 2
Entender como variam as extremidades quando
percorre
.
- A função
é decrescente para . Logo, quando vai de até , vai de até , isto é . - A função
também é decrescente para . Então, quando vai de até , vai de até , isto é . - Portanto, todos os intervalos têm extremos entre
e . Isso sugere que a união ficará dentro de . A seguir vamos provar isso formalmente e também que não sobra nenhum ponto de fora da união.
Passo 3
Provar a inclusão
.
Se pertence à união então existe
com
.
Da desigualdade e como
obtemos
.
Da desigualdade e como
obtemos
, logo
.
Combinando, . Assim qualquer elemento da união pertence a
, provando a inclusão desejada.
Se
Da desigualdade
Da desigualdade
Combinando,
Passo 4
Provar a inclusão inversa
.
Tome um arbitrário com
. Vamos mostrar que existe
tal que
.
Tome um
Reescrevemos as desigualdades em termos de
:
é equivalente a
, isto é
.
é equivalente a
.
Portanto pertence a
exatamente quando
.
Portanto
Agora verificamos que esse intervalo de
intersecta
. Note que, como
, tem-se
, logo o extremo direito
é maior que
. E como
, tem-se
, logo o extremo esquerdo
. Assim o intervalo aberto
tem extremidade direita maior que
e extremidade esquerda menor que
, o que garante que sua interseção com
é não vazia. Em palavras mais simples: o intervalo tem comprimento
e fica entre números menores que
e maiores que
, portanto sempre cruza o segmento
quando
.
Como a interseção é não vazia, existe
com
, e para esse
temos
. Logo
pertence à união. Isso prova a inclusão inversa.
Passo 5
Concluímos pelas inclusões mostradas nos passos anteriores que