Calcule:
Um bloco de ferro de 2,0 \mathrm{~kg} a 100^{\circ} \mathrm{C} é colocado em contato com um grande reservatório térmico a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o calor específico do ferro é 450 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), qual é a variação total de entropia do universo quando o bloco atinge o equilíbrio térmico?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Massa do bloco: m = 2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do bloco: T_i = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Reservatório grande (temperatura constante): T_{\text{res}} = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calor específico do ferro: c = 450\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • O bloco é colocado em contato com o reservatório e atinge equilíbrio térmico à temperatura do reservatório T_f = T_{\text{res}} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
O que se pede: a variação total de entropia do universo (isto é, do bloco + do reservatório) durante o processo de resfriamento até o equilíbrio térmico.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • Entropia diferencial: para um processo reversível elementar tem-se \mathrm{d}S = \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Aqui o bloco troca calor de forma não reversível com o reservatório, mas o cálculo da variação de entropia do bloco pode ser feito supondo um processo reversível equivalente (usar a mesma variação de temperatura) porque a entropia é função de estado.
  • Para um corpo com calor específico constante c, a quantidade de calor trocada ao variar a temperatura de T_i para T_f é \delta Q = m c\,\mathrm{d}T. Substituindo na definição e integrando:
\Delta S_{\text{bloco}}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\,\mathrm{d}T}{T}=m c\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui:
  • m é a massa,
  • c é o calor específico (assumido constante),
  • T_i e T_f são temperaturas em kelvin.
  • O reservatório é grande e tem temperatura constante T_{\text{res}}, logo sua variação de entropia é simplesmente
\Delta S_{\text{res}}=\frac{Q_{\text{res}}}{T_{\text{res}}},
onde Q_{\text{res}} é o calor recebido pelo reservatório. Conservação de energia diz Q_{\text{res}} = -Q_{\text{bloco}}.
  • A variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{bloco}}+\Delta S_{\text{res}}.

Passo 3

Calcular a variação de entropia do bloco usando \Delta S_{\text{bloco}}=m c\ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right).
  • Primeiro calcule m c:
m c = 2{,}0\cdot 450 = 900\\ \mathrm{J/K}.
  • Razão das temperaturas:
\frac{T_f}{T_i}=\frac{293{,}15}{373{,}15}\approx 0{,}7857.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right)\approx \ln(0{,}7857)\approx -0{,}2416.
  • Então
\Delta S_{\text{bloco}} = 900\cdot(-0{,}2416)\approx -217{,}4\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação: o bloco perde entropia ao esfriar (valor negativo), como esperado.

Passo 4

Calcular o calor trocado e a variação de entropia do reservatório.
  • Calor perdido pelo bloco:
Q_{\text{bloco}} = m c (T_f-T_i) = 900\cdot(293{,}15-373{,}15)=900\cdot(-80) = -72\,000\\ \mathrm{J}.
Portanto o reservatório recebe
Q_{\text{res}} = -Q_{\text{bloco}} = +72\,000\\ \mathrm{J}.
  • Como T_{\text{res}}=293{,}15\\ \mathrm{K} é constante,
\Delta S_{\text{res}}=\frac{Q_{\text{res}}}{T_{\text{res}}}=\frac{72\,000}{293{,}15}\approx 245{,}6\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Somar as contribuições para obter a variação total de entropia do universo.
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{bloco}}+\Delta S_{\text{res}} \approx -217{,}4 + 245{,}6 = 28{,}2\\ \mathrm{J/K}.
Comentário final: o valor é positivo, conforme a Segunda Lei da Termodinâmica para um processo espontâneo irreversível. Pequenas diferenças de arredondamento não alteram o sinal positivo.

Resposta

\Delta S_{\text{univ}}\approx 28{,}2\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados