Uma ponte de concreto armado tem 100 metros de comprimento quando a temperatura é de 15^{\circ} \mathrm{C} (madrugada). Durante a tarde, sob sol forte, a temperatura da estrutura atinge 45^{\circ} \mathrm{C}.Considerando que o coeficiente de dilatação linear do concreto é \alpha=1,2 \times 10^{\wedge}-5 /{ }^{\circ} \mathrm{C}, qual deve ser a largura mínima da junta de dilatação para que a ponte não sofra danos?

Passo 1

O enunciado dá estes dados e pede a largura mínima da junta de dilatação:
  • Comprimento inicial da ponte: L_0 = 100\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: T_{\text{inicial}} = 15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final (tarde): T_{\text{final}} = 45^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do concreto: \alpha = 1,2\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • O que pede: a largura mínima da junta de dilatação para evitar danos, ou seja, a expansão linear máxima \Delta L que a ponte terá quando aquecer de 15^\circ\mathrm{C} para 45^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Fórmula que usamos (e por que ela vale): a dilatação linear em uma barra/estrutura homogênea ao variar a temperatura é dada por
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta L é a variação (aumento) do comprimento, em metros.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade: {}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}), que diz quanto a cada grau Celsius o material cresce por unidade de comprimento.
  • L_0 é o comprimento inicial à temperatura de referência, em metros.
  • \Delta T é a variação de temperatura (temperatura final menos inicial), em graus Celsius.
    Intuição rápida: se \alpha fosse 0,01 por grau, isso significaria que a cada grau cada metro aumentaria 1\%. No concreto \alpha é muito pequeno, por isso os aumentos são pequenos, mas em estruturas longas somam bastante.

Passo 3

Calcula-se a variação de temperatura:
\Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}} = 45^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicar a fórmula passo a passo:
Primeiro calcule L_0\Delta T:
L_0\Delta T = 100\\ \mathrm{m} \times 30 = 3000\\ \mathrm{m\cdot {}^\circ C}.
Agora multiplica por \alpha:
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T = 1,2\times10^{-5}\times3000.
Fazendo a conta: 1,2\times3000 = 3600, então
\Delta L = 3600\times10^{-5} = 3,6\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para uma forma mais intuitiva:
3,6\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 0,036\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter para unidades comuns:
0,036\\ \mathrm{m} = 3,6\\ \mathrm{cm} = 36\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: a junta de dilatação deve ter pelo menos essa largura para permitir o crescimento sem que a estrutura fique engastada e sofra tensões/danos. Em projeto real costuma-se adicionar folgas de segurança e considerar outros fatores (imperfeições, variações locais de temperatura), mas para a pergunta direta do exame a largura mínima calculada é essa.

Passo 6

Resumo rápido do procedimento para usar na prova:
  • Identifique L_0, \alpha e \Delta T.
  • Calcule \Delta L=\alpha L_0\Delta T.
  • Converta unidades (m → cm) se for mais interpretável.
    Dica de memorização: pense “coeficiente × comprimento × variação de temperatura” e a unidade sai certinha.

Resposta

\,0,036\\ \mathrm{m} = 3,6\\ \mathrm{cm} = 36\\ \mathrm{mm}

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