Calcule: c) forall x, y in Z(x^2+y^2 >=(x+y)^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se, para todos os números inteiros $ x $ e $ y $, a seguinte desigualdade é verdadeira:
x
Aqui, estamos lidando com álgebra e desigualdades. Vamos usar algumas propriedades matemáticas básicas para descobrir quando essa desigualdade vale.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado direito da desigualdade, que é $ (x + y)^{2} $. Sabemos que:
(x + y)^2
Então, substituindo isso na desigualdade original, temos:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos subtrair $ x^{2} + y^{2} $ de ambos os lados da desigualdade:
x^2 + y^2
Isso simplifica para:
x^2 + y^2 - x^2 - y^2 >= 2xy

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar ainda mais:
0 >= xy
Isso nos diz que o produto de $ x $ e $ y $ deve ser menor ou igual a zero.

Passo 5

Vamos interpretar o que isso significa. Para que $ xy \leq 0 $, uma das seguintes condições deve ser verdadeira:
  • $ x $ é positivo e $ y $ é negativo.
  • $ x $ é negativo e $ y $ é positivo.
  • Pelo menos um dos valores $ x $ ou $ y $ é zero.
Se ambos $ x $ e $ y $ forem positivos ou ambos forem negativos, o produto $ xy $ será positivo, o que não satisfaz a desigualdade.

Resposta

A desigualdade $ x^{2} + y^{2} \geq (x + y)^{2} $ é verdadeira para todos os números inteiros $ x $ e $ y $ quando eles têm sinais opostos ou pelo menos um deles é zero. Ou seja, a condição vale se:
x^2 + y^2 >= (x + y)^2

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