Calcule: c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se, para todos os números inteiros $ x $ e $ y $, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com álgebra e desigualdades. Vamos usar algumas propriedades matemáticas básicas para descobrir quando essa desigualdade vale.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado direito da desigualdade, que é $ (x + y)^{2} $. Sabemos que:
Então, substituindo isso na desigualdade original, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos subtrair $ x^{2} + y^{2} $ de ambos os lados da desigualdade:
Isso simplifica para:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por 2 para simplificar ainda mais:
Isso nos diz que o produto de $ x $ e $ y $ deve ser menor ou igual a zero.
Passo 5
Vamos interpretar o que isso significa. Para que $ xy \leq 0 $, uma das seguintes condições deve ser verdadeira:
- $ x $ é positivo e $ y $ é negativo.
- $ x $ é negativo e $ y $ é positivo.
- Pelo menos um dos valores $ x $ ou $ y $ é zero.
Se ambos $ x $ e $ y $ forem positivos ou ambos forem negativos, o produto $ xy $ será positivo, o que não satisfaz a desigualdade.
Resposta
A desigualdade $ x^{2} + y^{2} \geq (x + y)^{2} $ é verdadeira para todos os números inteiros $ x $ e $ y $ quando eles têm sinais opostos ou pelo menos um deles é zero. Ou seja, a condição vale se: