Calcule.
(g) integral sen(3 x) cos (8 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sen(3 x) cos (8 x) , dx. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente ao uso de identidades trigonométricas para simplificar integrais de produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar utilizar a identidade do produto para soma que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em soma:
sen(A) cos(B) = 12 [ sen(A + B) + sen(A - B) ]
Nesse caso, temos A = 3x e B = 8x.

Passo 3

Aplicando a identidade na nossa integral:
integral sen(3x) cos(8x) , dx = 12 integral [ sen(3x + 8x) + sen(3x - 8x) ] , dx
Simplificando os argumentos dos senos:
= 12 integral [ sen(11x) + sen(-5x) ] , dx

Passo 4

Sabemos que sen(-theta) = -sen(theta), então:
= 12 integral [ sen(11x) - sen(5x) ] , dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
= 12 ( -cos(11x)11 + cos(5x)5 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral sen(3 x) cos (8 x) , dx é igual a:
-cos(11x)22 + cos(5x)10 + C

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