Calcule A B, em cada caso abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 4 \\\\ 5 & 0 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 6 \\\\ 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular A B. As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 4 \\[4pt] 5 & 0 & 1\end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{r}2 \\[4pt] 6 \\[4pt] 10\end{array}\right].
Informações relevantes:
  • A tem 2 linhas e 3 colunas (dimensão 2\times3).
  • B tem 3 linhas e 1 coluna (dimensão 3\times1).
  • A tarefa é calcular o produto matricial A B.]

Passo 2

Quando o produto A B está definido e como calculá-lo:
  • O produto A B está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Aqui 3=3, logo o produto está definido.
  • O resultado terá dimensão igual ao número de linhas de A por número de colunas de B; portanto A B terá dimensão 2\times1 (um vetor coluna com 2 entradas).
  • Regra para cada elemento: (A B)_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}, onde:
    • i é a linha do produto,
    • j é a coluna do produto,
    • k percorre as colunas de A (ou linhas de B),
    • n é o número de colunas de A (aqui n=3).

Passo 3

Calculando a primeira entrada (A B)_{1,1} (produto da 1ª linha de A pelo vetor B):
(A B)_{1,1}=A_{1,1}B_{1,1}+A_{1,2}B_{2,1}+A_{1,3}B_{3,1}.
Substituindo os valores:
(A B)_{1,1}=1\cdot 2 + (-2)\cdot 6 + 4\cdot 10.
Fazendo as multiplicações e somas passo a passo:
1\cdot 2 = 2,\qquad (-2)\cdot 6 = -12,\qquad 4\cdot 10 = 40,
(A B)_{1,1}=2-12+40=30.

Passo 4

Calculando a segunda entrada (A B)_{2,1} (produto da 2ª linha de A pelo vetor B):
(A B)_{2,1}=A_{2,1}B_{1,1}+A_{2,2}B_{2,1}+A_{2,3}B_{3,1}.
Substituindo os valores:
(A B)_{2,1}=5\cdot 2 + 0\cdot 6 + 1\cdot 10.
Multiplicando e somando:
5\cdot 2 = 10,\qquad 0\cdot 6 = 0,\qquad 1\cdot 10 = 10,
(A B)_{2,1}=10+0+10=20.

Passo 5

Resumo dos resultados das entradas calculadas:
  • (A B)_{1,1}=30.
  • (A B)_{2,1}=20.
    Portanto o produto A B é o vetor coluna com essas duas entradas.

Resposta

A B=\left[\begin{array}{r}30 \\[4pt] 20\end{array}\right]]

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