Verifique, em cada caso, se B é a matriz inversa de A :
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 6\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rr}2 / 3 & -1 / 3 \\\\ -1 / 9 & 2 / 9\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se B é a matriz inversa de A.
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 6\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2/3 & -1/3\\[4pt]-1/9 & 2/9\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição e estratégia de verificação (explicação didática):
  • Para matrizes quadradas, a matriz B é inversa de A quando
A B = I_2 \quad\text{e}\quad B A = I_2,
onde I_2 é a matriz identidade 2\times2:
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  • Para multiplicar duas matrizes 2\times2, cada entrada do produto é o produto escalar da linha correspondente da primeira pela coluna correspondente da segunda. Vou calcular explicitamente A B (e depois B A) mostrando cada entrada passo a passo.]

Passo 3

Cálculo de A B. Aplicando a regra de multiplicação:
A B = \begin{pmatrix} \text{(1,1)} & \text{(1,2)}\\[4pt] \text{(2,1)} & \text{(2,2)} \end{pmatrix},
onde
\text{(1,1)} = 2\cdot\frac{2}{3} + 3\cdot\left(-\frac{1}{9}\right),
\text{(1,2)} = 2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) + 3\cdot\frac{2}{9},
\text{(2,1)} = 1\cdot\frac{2}{3} + 6\cdot\left(-\frac{1}{9}\right),
\text{(2,2)} = 1\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) + 6\cdot\frac{2}{9}.
Agora simplifico cada uma:
\text{(1,1)} = \frac{4}{3} - \frac{3}{9} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1,
\text{(1,2)} = -\frac{2}{3} + \frac{6}{9} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0,
\text{(2,1)} = \frac{2}{3} - \frac{6}{9} = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0,
\text{(2,2)} = -\frac{1}{3} + \frac{12}{9} = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} = 1.
Portanto
A B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = I_2.]

Passo 4

Interpretação parcial: já que A B = I_2, isso indica fortemente que B é a inversa direita de A. Para matrizes quadradas isso já garante que B é de fato a inversa (ou seja, também B A = I_2), mas por completude vou calcular B A explicitamente para mostrar que também dá I_2.

Passo 5

Cálculo de B A. Novamente cada entrada é produto escalar linha × coluna:
B A = \begin{pmatrix} \text{(1,1)} & \text{(1,2)}\\[4pt] \text{(2,1)} & \text{(2,2)} \end{pmatrix},
onde
\text{(1,1)} = \frac{2}{3}\cdot 2 + \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 1,
\text{(1,2)} = \frac{2}{3}\cdot 3 + \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot 6,
\text{(2,1)} = \left(-\frac{1}{9}\right)\cdot 2 + \frac{2}{9}\cdot 1,
\text{(2,2)} = \left(-\frac{1}{9}\right)\cdot 3 + \frac{2}{9}\cdot 6.
Simplificando:
\text{(1,1)} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1,
\text{(1,2)} = 2 - 2 = 0,
\text{(2,1)} = -\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = 0,
\text{(2,2)} = -\frac{3}{9} + \frac{12}{9} = \frac{9}{9} = 1.
Logo
B A = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = I_2.]

Passo 6

Verificação alternativa (fórmula do inverso de 2\times2, para fixar o conceito):
  • Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} com determinante \det = ad-bc \neq 0, a inversa é
\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui \det A = 2\cdot 6 - 3\cdot 1 = 12 - 3 = 9. Portanto
A^{-1} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}6 & -3\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6/9 & -3/9\\[4pt]-1/9 & 2/9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/3 & -1/3\\[4pt]-1/9 & 2/9\end{pmatrix},
que coincide exatamente com B.]

Resposta

Sim. B = A^{-1}.

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