Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que
A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda tais que
\operatorname{det}\!\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr)=0,
onde foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\[4pt]0 & 0 & 3\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos da diagonal principal de A são todos zeros.
  • A incógnita é o escalar \lambda que faz o determinante \operatorname{det}\!\bigl(A-\lambda I_{n}\bigr) igual a zero.]

Passo 2

Escrevendo explicitamente A-\lambda I_{n} (aqui n=3):
A-\lambda I_{3}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\[4pt] 0 & \lambda & 0\\[4pt] 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 2\\[4pt] 0 & -\lambda & 3\\[4pt] 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz triangular superior. Lembrete didático: quando uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Uma maneira elementar de ver isso é expandir por cofactores ao longo da primeira coluna: como os elementos abaixo de (1,1) são zeros, só o primeiro termo contribui.
Aplicando expansão por cofactores na primeira coluna:
\operatorname{det}\!\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr) =(-\lambda)\cdot \begin{vmatrix} -\lambda & 3\\[4pt] 0 & -\lambda \end{vmatrix} +0\cdot(\cdots)+0\cdot(\cdots).
O determinante do menor 2\times2 é
\begin{vmatrix} -\lambda & 3\\[4pt] 0 & -\lambda \end{vmatrix} =(-\lambda)(-\lambda)-3\cdot 0=\lambda^{2}.
Portanto
\operatorname{det}\!\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=(-\lambda)\cdot\lambda^{2}=(-\lambda)^{3}=-\lambda^{3}.]

Passo 4

Agora impomos a condição pedida:
\operatorname{det}\!\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\lambda^{3}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^{3}=0.
A única solução real (e complexa) de \lambda^{3}=0 é \lambda=0. Isso significa que o valor \lambda=0 é raiz do polinômio característico de multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Interpretação rápida: todos os autovalores de A são os elementos da diagonal principal (isso vale para qualquer matriz triangular). Aqui a diagonal é (0,0,0), então o único autovalor é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 3. Força aí — deu trabalho, mas é simples quando a matriz é triangular!

Resposta

\lambda=0 (multiplicidade algébrica 3)

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