Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, em que A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda tais que
Vamos calcular o determinante dessa matriz triangular superior. Lembrete didático: quando uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Uma maneira elementar de ver isso é expandir por cofactores ao longo da primeira coluna: como os elementos abaixo de (1,1) são zeros, só o primeiro termo contribui.
Aplicando expansão por cofactores na primeira coluna:
A única solução real (e complexa) de \lambda^{3}=0 é \lambda=0. Isso significa que o valor \lambda=0 é raiz do polinômio característico de multiplicidade algébrica 3.
Passo 5
Interpretação rápida: todos os autovalores de A são os elementos da diagonal principal (isso vale para qualquer matriz triangular). Aqui a diagonal é (0,0,0), então o único autovalor é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 3. Força aí — deu trabalho, mas é simples quando a matriz é triangular!