Calcule cada expressão.
f) \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}}.
Informações dadas: o numerador é 16 e o denominador é 81; o expoente é \tfrac{3}{4}.
Objetivo: simplificar essa potência e obter um número racional final.

Passo 2

Primeiro, preciso te relembrar o que significa um expoente racional. Para a>0 e inteiros m,n com n>0,
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{\,m}}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
Aqui a é a base, m é o numerador do expoente e n é o denominador do expoente (a raiz). No nosso caso m=3 e n=4, então estamos lidando com a quarta raiz seguida de potência ao cubo (ou o contrário — as duas formas são equivalentes).

Passo 3

Outra propriedade útil de potências é que elas distribuem sobre quocientes:
\left(\frac{a}{b}\right)^{p}=\frac{a^{p}}{b^{p}}.
Também vamos usar a regra de potência de potência:
\bigl(a^{r}\bigr)^{s}=a^{r\cdot s}.
Vou aplicar essas propriedades à nossa expressão. Primeiro reescrevo a base em potências de primos: 16 e 81 são potências exatas de inteiros pequenos. Observa:
16=2^{4},\qquad 81=3^{4}.
Esses dados eu encontrei escrevendo 16 e 81 em fatoração de primos (ou reconhecendo que 2^4=16 e 3^4=81).

Passo 4

Substituindo na expressão:
\left(\frac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{2^{4}}{3^{4}}\right)^{\frac{3}{4}}.
Agora uso a propriedade de quociente e a regra potência-de-potência. Primeiro posso juntar as potências:
\left(\frac{2^{4}}{3^{4}}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\right)^{\frac{3}{4}}.
Aplicando \bigl(a^{r}\bigr)^{s}=a^{r\cdot s}, obtemos
\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{4\cdot\frac{3}{4}}.

Passo 5

O produto dos expoentes simplifica:
4\cdot\frac{3}{4}=3,
logo
\left(\frac{2}{3}\right)^{4\cdot\frac{3}{4}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{3}.
Agora calcule \left(\frac{2}{3}\right)^{3} como potência de numerador e denominador:
\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}=\frac{8}{27}.

Passo 6

(Fica a dica didática: outra forma equivalente seria calcular primeiro a quarta raiz \sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{2}{3} e em seguida elevar ao cubo, chegando ao mesmo \frac{8}{27}.)

Resposta

\displaystyle \frac{8}{27}

Exercícios relacionados