Calcule cada expressão.
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
; o expoente é
.
Objetivo: simplificar essa potência e obter um número racional final.
Informações dadas: o numerador é
Objetivo: simplificar essa potência e obter um número racional final.
Passo 2
Primeiro, preciso te relembrar o que significa um expoente racional. Para
e inteiros
com
,
Aqui
é a base,
é o numerador do expoente e
é o denominador do expoente (a raiz). No nosso caso
e
, então estamos lidando com a quarta raiz seguida de potência ao cubo (ou o contrário — as duas formas são equivalentes).
Passo 3
Outra propriedade útil de potências é que elas distribuem sobre quocientes:
Também vamos usar a regra de potência de potência:
Vou aplicar essas propriedades à nossa expressão. Primeiro reescrevo a base em potências de primos:
e
são potências exatas de inteiros pequenos. Observa:
Esses dados eu encontrei escrevendo
e
em fatoração de primos (ou reconhecendo que
e
).
Passo 4
Substituindo na expressão:
Agora uso a propriedade de quociente e a regra potência-de-potência. Primeiro posso juntar as potências:
Aplicando
, obtemos
Passo 5
O produto dos expoentes simplifica:
logo
Agora calcule
como potência de numerador e denominador:
Passo 6
(Fica a dica didática: outra forma equivalente seria calcular primeiro a quarta raiz
e em seguida elevar ao cubo, chegando ao mesmo
.)