Encontre o máximo e mínimo absolutos de
na região
e todos os pontos onde ocorrem:
(d)
.
(d)
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos que encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função na região
definida pela inequação
. Essa região
é uma elipse no plano
.
Temos que encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar otimização com restrições, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para encontrar os extremos da função dentro da região
.
Vamos utilizar otimização com restrições, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para encontrar os extremos da função
O que Vamos Precisar:
- Encontrar pontos críticos dentro da região
. - Aplicar os multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos na fronteira de
. - Comparar os valores obtidos para determinar os máximos e mínimos absolutos.
Passo 2
Encontrando Pontos Críticos no Interior de
:
Primeiro, vamos verificar se existem pontos críticos dentro da região
.
Para isso, calculamos as derivadas parciais de
:
Pontos Críticos:
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Verificando se
está em
:
Substituindo na inequação da elipse:
Como
, o ponto
não está dentro de
. Portanto, não há pontos críticos no interior da região.
Passo 3
Encontrando Extremos na Fronteira de
com Multiplicadores de Lagrange:
Já que não há pontos críticos internos, vamos focar na fronteira da região
, que é a elipse:
Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Para encontrar os extremos de
na fronteira, introduzimos uma função auxiliar
:
Agora, derivamos
em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Resolvendo o Sistema:
Vamos simplificar as equações 1 e 2:
Da equação 2:
Substituindo em 1:
Agora, usamos a equação da elipse:
Resolvendo as Equações A e B:
Subtraindo Eq. A de Eq. B:
Agora, substituímos
na Eq. A:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções para
:
Encontrando os Correspondentes
:
Para
:
Para
:
Como
não pode ser negativo, descartamos
.
Pontos na Fronteira:
Os pontos onde ocorrem os extremos são e
.
Os pontos onde ocorrem os extremos são
Passo 4
Calculando os Valores de
nos Pontos Encontrados:
Para
:
Para
:
Análise dos Resultados:
Como não há pontos críticos internos e apenas dois pontos na fronteira fornecem valores de
, esses são os candidatos aos extremos absolutos.
Resposta
O máximo absoluto de
na região
é
e o mínimo absoluto é
. Ambos ocorrem no ponto
.