Encontre o máximo e mínimo absolutos de f na região D e todos os pontos onde ocorrem:
(d) f(x, y)=x y, D=(x, y) in R^2 ; (x-7)^29+y^24 <= 1.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos que encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função na região definida pela inequação . Essa região é uma elipse no plano .
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar otimização com restrições, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para encontrar os extremos da função dentro da região .
O que Vamos Precisar:
  • Encontrar pontos críticos dentro da região .
  • Aplicar os multiplicadores de Lagrange para encontrar extremos na fronteira de .
  • Comparar os valores obtidos para determinar os máximos e mínimos absolutos.

Passo 2

Encontrando Pontos Críticos no Interior de fx = partial fpartial x = y :
Primeiro, vamos verificar se existem pontos críticos dentro da região fy = partial fpartial y = x .
Para isso, calculamos as derivadas parciais de fx = y = 0 :
fy = x = 0
(0-7)^29 + 0^24 = 499 + 0 = 499 approx 5,44
Pontos Críticos:
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Portanto, o único ponto crítico é .
Verificando se está em :
Substituindo na inequação da elipse:
Como , o ponto não está dentro de . Portanto, não há pontos críticos no interior da região.

Passo 3

Encontrando Extremos na Fronteira de (x-7)^29 + y^24 = 1 com Multiplicadores de Lagrange:
Já que não há pontos críticos internos, vamos focar na fronteira da região L(x, y, lambda) = xy - lambda ( (x-7)^29 + y^24 - 1 ) , que é a elipse:
lambda = 2xy
Método dos Multiplicadores de Lagrange:
Para encontrar os extremos de y = ( 2xy ) ( 2(x-7)9 ) na fronteira, introduzimos uma função auxiliar y = 4x(x-7)9y :
y^2 = 4x(x-7)9
Agora, derivamos 9y^2 = 4x(x - 7) em relação a 9y^2 = 4x^2 - 28x , 4x^2 - 28x - 9y^2 = 0 (Eq A) e (x-7)^29 + y^24 = 1 e igualamos a zero:
  1. (x - 7)^2 = 9(1 - y^24)
  2. x^2 - 14x + 49 = 9 - 9y^24
  3. x^2 - 14x + 40 = -9y^24
Resolvendo o Sistema:
Vamos simplificar as equações 1 e 2:
  1. 4x^2 - 56x + 160 = -9y^2
  2. 4x^2 - 56x + 160 + 9y^2 = 0 (Eq B)
Da equação 2:
(4x^2 - 56x + 160 + 9y^2) - (4x^2 - 28x - 9y^2) = 0
Substituindo em 1:
-56x + 160 + 28x + 18y^2 = 0
-28x + 160 + 18y^2 = 0
18y^2 = 28x - 160
y^2 = 28x - 16018 = 14x - 809
4x^2 - 28x - 9( 14x - 809 ) = 0
4x^2 - 28x - (14x - 80) = 0
Agora, usamos a equação da elipse:
4x^2 - 28x - 14x + 80 = 0
4x^2 - 42x + 80 = 0
x = 42 pm raiz(-42)^2 - 4 cdot 4 cdot 802 cdot 4 = 42 pm raiz1764 - 12808 = 42 pm raiz4848 = 42 pm 228
y^2 = 14 cdot 8 - 809 = 112 - 809 = 329 Rightarrow y = pm 4raiz23
y^2 = 14 cdot 2,5 - 809 = 35 - 809 = -459 = -5
Resolvendo as Equações A e B:
Subtraindo Eq. A de Eq. B:
Agora, substituímos na Eq. A:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções para :
Encontrando os Correspondentes :
Para :
Para :
Como não pode ser negativo, descartamos .
Pontos na Fronteira:
Os pontos onde ocorrem os extremos são e .

Passo 4

Calculando os Valores de f(8, 4raiz23) = 8 cdot 4raiz23 = 32raiz23 approx 15,10 nos Pontos Encontrados:
Para f(8, -4raiz23) = 8 cdot (-4raiz23) = -32raiz23 approx -15,10 :
Para :
Análise dos Resultados:
Como não há pontos críticos internos e apenas dois pontos na fronteira fornecem valores de , esses são os candidatos aos extremos absolutos.

Resposta

O máximo absoluto de na região é e o mínimo absoluto é . Ambos ocorrem no ponto .

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