Simplifique a expressão.
c) \sqrt[6]{64 a^{6} b^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[6]{64 a^{6} b^{7}}.
Informações dadas: dentro da raiz sexta há um produto de fatores 64, a^{6} e b^{7}. A tarefa é reescrever essa expressão de forma mais simples, usando propriedades de radicais e expoentes.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinhos):
  • Para todo n\ge 1 e números não-negativos x,y,
\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\,\sqrt[n]{y}.
Isto significa que podemos separar a raiz de um produto em produto de raízes; é muito útil para simplificar.
  • A raiz enésima pode ser vista como potência de expoente 1/n:
\sqrt[n]{x}=x^{1/n},\qquad \text{logo}\qquad \sqrt[n]{x^{m}}=x^{m/n}.
  • Quando n é par (como n=6), temos a regra importante
\sqrt[n]{x^{n}}=|x|,
ou seja, a raiz enésima de x^{n} é o valor absoluto de x, porque raízes pares retornam valores não negativos. Por isso, ao simplificar \sqrt[6]{a^{6}} devemos obter |a|, não simplesmente a, a menos que saibamos que a\ge 0.
Exemplo pequeno para fixar: \sqrt[4]{16x^{4}}=\sqrt[4]{2^{4}x^{4}}=2|x|.

Passo 3

Vamos factorar potências dentro da raiz para tirar potências inteiras debaixo do radical. Observando os expoentes:
  • 64=2^{6}.
  • a^{6} já tem expoente múltiplo de 6.
  • b^{7}=b^{6}\cdot b.
Portanto podemos reescrever o radicando como
64 a^{6} b^{7}=2^{6}\cdot a^{6}\cdot b^{6}\cdot b.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz sexta separando os fatores:
\sqrt[6]{64 a^{6} b^{7}} =\sqrt[6]{2^{6}\cdot a^{6}\cdot b^{6}\cdot b} =\sqrt[6]{2^{6}}\;\sqrt[6]{a^{6}}\;\sqrt[6]{b^{6}}\;\sqrt[6]{b}.
Cada uma dessas partes é simples de avaliar:
  • \sqrt[6]{2^{6}}=2 porque 2^{6} é potência exata da raiz.
  • \sqrt[6]{a^{6}}=|a| pelo motivo explicado: raiz de ordem par de uma sexta potência dá valor absoluto.
  • \sqrt[6]{b^{6}}=|b| pela mesma razão.
  • \sqrt[6]{b} fica sob a raiz, pois o expoente 1 é menor que 6.
Juntando:
\sqrt[6]{64 a^{6} b^{7}}=2\;|a|\;|b|\;\sqrt[6]{b}.

Passo 5

Podemos condensar os valores absolutos usando |a||b|=|ab|. Assim a forma final fica
2\,|ab|\,\sqrt[6]{b}.
Isto é o mais simples que podemos obter sem assumir sinal de a ou b. Se soubéssemos, por exemplo, que a\ge 0 e b\ge 0, poderíamos tirar os módulos e escrever 2ab\sqrt[6]{b}, mas sem essa hipótese a forma correta é com valor absoluto.

Resposta

2\,|ab|\,\sqrt[6]{b}

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