Simplifique a expressão.
c)
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Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas: dentro da raiz sexta há um produto de fatores
,
e
. A tarefa é reescrever essa expressão de forma mais simples, usando propriedades de radicais e expoentes.
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinhos):
- Para todo
e números não-negativos ,
Isto significa que podemos separar a raiz de um produto em produto de raízes; é muito útil para simplificar.
- A raiz enésima pode ser vista como potência de expoente
:
- Quando
é par (como ), temos a regra importante
ou seja, a raiz enésima de
é o valor absoluto de
, porque raízes pares retornam valores não negativos. Por isso, ao simplificar
devemos obter
, não simplesmente
, a menos que saibamos que
.
Exemplo pequeno para fixar:
.
Passo 3
Vamos factorar potências dentro da raiz para tirar potências inteiras debaixo do radical. Observando os expoentes:
-
. -
já tem expoente múltiplo de . -
.
Portanto podemos reescrever o radicando como
Passo 4
Agora aplicamos a raiz sexta separando os fatores:
Cada uma dessas partes é simples de avaliar:
-
porque é potência exata da raiz. -
pelo motivo explicado: raiz de ordem par de uma sexta potência dá valor absoluto. -
pela mesma razão. -
fica sob a raiz, pois o expoente é menor que .
Juntando:
Passo 5
Podemos condensar os valores absolutos usando
. Assim a forma final fica
Isto é o mais simples que podemos obter sem assumir sinal de
ou
. Se soubéssemos, por exemplo, que
e
, poderíamos tirar os módulos e escrever
, mas sem essa hipótese a forma correta é com valor absoluto.