Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver! A questão pede para calcular a integral de
. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências, então vamos usar algumas técnicas de cálculo que envolvem identidades trigonométricas e substituição para simplificar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a expressão para facilitar a substituição. Observa que a potência de cosseno é ímpar (
). Quando temos uma potência ímpar de cosseno, é útil separar um fator de
para usar como diferencial na substituição.
Então, reescrevemos a integral assim:
Passo 3
Agora, lembramos que temos uma identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Vamos substituir
por essa expressão na integral:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, o diferencial de
será:
Isso significa que
. Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Isso nos permite integrar termo a termo.
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral se torna:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral de
é: