Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral sen^6(x) cos ^3(x) d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver! A questão pede para calcular a integral de sin^6(x) cos^3(x) dx. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas elevadas a potências, então vamos usar algumas técnicas de cálculo que envolvem identidades trigonométricas e substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a expressão para facilitar a substituição. Observa que a potência de cosseno é ímpar ( cos^3(x)). Quando temos uma potência ímpar de cosseno, é útil separar um fator de cos(x) para usar como diferencial na substituição.
Então, reescrevemos a integral assim:
integral sin^6(x) cos^3(x) dx = integral sin^6(x) cos^2(x) cos(x) dx

Passo 3

Agora, lembramos que temos uma identidade trigonométrica que relaciona cos^2(x) com sin^2(x):
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)
Vamos substituir cos^2(x) por essa expressão na integral:
integral sin^6(x) (1 - sin^2(x)) cos(x) dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = sin(x). Então, o diferencial de u será:
du = cos(x) dx
Isso significa que cos(x) dx = du. Substituindo na integral, temos:
integral sin^6(x) (1 - sin^2(x)) cos(x) dx = integral u^6 (1 - u^2) du

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral u^6 (1 - u^2) du = integral (u^6 - u^8) du
Isso nos permite integrar termo a termo.

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^6 du = u^77 integral u^8 du = u^99
Então, a integral se torna:
u^77 - u^99 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original x. Lembrando que u = sin(x), substituímos de volta:
sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C

Resposta

A integral de sin^6(x) cos^3(x) dx é:
sin^7(x)7 - sin^9(x)9 + C

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