Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral tan ^3(x) sec (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral tan^3(x) sec(x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão tan^3(x). Sabemos que tan^3(x) pode ser escrito como tan(x) cdot tan^2(x). Além disso, lembramos que tan^2(x) = sec^2(x) - 1. Então, temos:
tan^3(x) = tan(x) cdot (sec^2(x) - 1)

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral tan^3(x) sec(x) , dx = integral tan(x) cdot (sec^2(x) - 1) cdot sec(x) , dx

Passo 4

Vamos distribuir tan(x) dentro dos parênteses:
= integral tan(x) sec^3(x) , dx - integral tan(x) sec(x) , dx
Agora, temos duas integrais para resolver separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral tan(x) sec^3(x) , dx
Para resolver essa, usamos substituição. Vamos definir:
u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx
Reescrevendo a integral em termos de u:
integral tan(x) sec^3(x) , dx = integral sec^2(x) cdot sec(x) tan(x) , dx = integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3(x)3 + C

Passo 6

Segunda integral: integral tan(x) sec(x) , dx
Novamente, usamos substituição. Definimos:
u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx
Então, a integral se torna:
integral tan(x) sec(x) , dx = integral du = u + C = sec(x) + C

Passo 7

Agora, juntamos as duas soluções das integrais:
sec^3(x)3 - sec(x) + C

Resposta

A integral integral tan^3(x) sec(x) , dx é igual a sec^3(x)3 - sec(x) + C, onde C é a constante de integração.

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