Dada a função f(x) = e^(-x^2). Determine:
a) Assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir se ela tem assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas. Pra isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem quando a função cresce sem limite em algum ponto específico de x, ou seja, quando o limite de tende a infinito ou menos infinito conforme se aproxima de algum valor.
Vamos analisar a nossa função . A função exponencial está sempre bem comportada e nunca explode para mais ou menos infinito em pontos finitos de x. Além disso, ela está definida para todo valor real de x. Isso significa que não há valores de x que façam dar problema ou crescer sem limite.
Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando o valor da função se aproxima de um número constante à medida que x vai para mais ou menos infinito.
Vamos calcular os limites de quando tende a e :
Ambos os limites tendem a 0. Isso significa que a linha é uma assíntota horizontal para a função .

Passo 4

Por último, vamos ver se há assíntotas inclinadas (ou oblíquas). Essas aparecem quando, à medida que x vai para mais ou menos infinito, a função se comporta como uma linha reta de inclinação diferente de zero.
Para verificar isso, normalmente calculamos o limite de menos uma linha reta do tipo conforme x vai para o infinito. No entanto, nossa função tende a 0 em ambos os extremos, e não se comporta como uma linha reta inclinada.
Portanto, não existem assíntotas inclinadas para essa função.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal na linha e não possui assíntotas verticais ou inclinadas.

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