Dada a função
. Determine:
a) Assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existir.
a) Assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas quando existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir se ela tem assíntotas verticais, horizontais ou inclinadas. Pra isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas ocorrem quando a função cresce sem limite em algum ponto específico de x, ou seja, quando o limite de
tende a infinito ou menos infinito conforme
se aproxima de algum valor.
Vamos analisar a nossa função
. A função exponencial está sempre bem comportada e nunca explode para mais ou menos infinito em pontos finitos de x. Além disso, ela está definida para todo valor real de x. Isso significa que não há valores de x que façam
dar problema ou crescer sem limite.
Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos verificar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando o valor da função se aproxima de um número constante à medida que x vai para mais ou menos infinito.
Vamos calcular os limites de
quando
tende a
e
:
Ambos os limites tendem a 0. Isso significa que a linha
é uma assíntota horizontal para a função
.
Passo 4
Por último, vamos ver se há assíntotas inclinadas (ou oblíquas). Essas aparecem quando, à medida que x vai para mais ou menos infinito, a função se comporta como uma linha reta de inclinação diferente de zero.
Para verificar isso, normalmente calculamos o limite de
menos uma linha reta do tipo
conforme x vai para o infinito. No entanto, nossa função
tende a 0 em ambos os extremos, e não se comporta como uma linha reta inclinada.
Portanto, não existem assíntotas inclinadas para essa função.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal na linha
e não possui assíntotas verticais ou inclinadas.