Calcule cada uma das integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
Informações dadas:
- O domínio de integração é dado pela variação externa de
: . - Para cada
fixo nessa faixa, a variável varia de até . - A função a integrar é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método: como a integral já está escrita como uma integral iterada com integração em
primeiro, o caminho mais direto é integrar em
mantendo
como constante e depois integrar o resultado em
. Isso usa regras básicas de integração de polinômios em uma variável, sem necessidade de trocar a ordem de integração. Vou explicar cada operação para você conseguir reproduzir na prova.
Lembrete prático de integrais usadas aqui:
- Se
é constante em relação a , então . - Se integrando é
, então (para ). - Ao integrar uma soma, integra-se termo a termo.
Passo 3
Integração interna (em
), tratando
como constante:
Integro termo a termo:
- Para o termo
(constante em ): . - Para o termo
: .
Portanto uma primitiva em
é
. Avaliando entre os limites
e
:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida:
Calcule cada parte:
Calcule cada parte:
Subtraindo:
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 5
Agora integramos termo a termo em
. Lembrando que
.
Somando as primitivas:
Avalie de
a
:
Passo 6
Calcular a combinação de frações:
Colocar em denominador comum :
Colocar em denominador comum
Logo
Para aumentar a confiança: este é o valor final da integral dupla.