Calcule cada uma das integrais.
\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x}(2 x+4 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{x}(2x+4y)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O domínio de integração é dado pela variação externa de x: 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo nessa faixa, a variável y varia de y=x^{2} até y=x.
  • A função a integrar é f(x,y)=2x+4y.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método: como a integral já está escrita como uma integral iterada com integração em y primeiro, o caminho mais direto é integrar em y mantendo x como constante e depois integrar o resultado em x. Isso usa regras básicas de integração de polinômios em uma variável, sem necessidade de trocar a ordem de integração. Vou explicar cada operação para você conseguir reproduzir na prova.
Lembrete prático de integrais usadas aqui:
  • Se a é constante em relação a y, então \int a\,dy = a y + C.
  • Se integrando é y^{n}, então \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1).
  • Ao integrar uma soma, integra-se termo a termo.

Passo 3

Integração interna (em y), tratando x como constante:
\int_{x^{2}}^{x}(2x+4y)\,dy.
Integro termo a termo:
  • Para o termo 2x (constante em y): \int 2x\,dy = 2x\cdot y.
  • Para o termo 4y: \int 4y\,dy = 4\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=2y^{2}.
Portanto uma primitiva em y é 2xy+2y^{2}. Avaliando entre os limites y=x^{2} e y=x:
\bigl[\,2xy+2y^{2}\,\bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} = \bigl(2x\cdot x + 2x^{2}\bigr) - \bigl(2x\cdot x^{2} + 2x^{4}\bigr).

Passo 4

Simplificar a expressão obtida:
Calcule cada parte:
2x\cdot x + 2x^{2} = 2x^{2}+2x^{2}=4x^{2},
2x\cdot x^{2} + 2x^{4} = 2x^{3}+2x^{4}.
Subtraindo:
4x^{2} - \bigl(2x^{3}+2x^{4}\bigr) = 4x^{2} - 2x^{3} - 2x^{4}.
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1}\bigl(4x^{2} - 2x^{3} - 2x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo em x. Lembrando que \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.
  • \displaystyle \int 4x^{2}\,dx = 4\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{4x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int -2x^{3}\,dx = -2\cdot \dfrac{x^{4}}{4}=-\dfrac{2x^{4}}{4}=-\dfrac{x^{4}}{2}.
  • \displaystyle \int -2x^{4}\,dx = -2\cdot \dfrac{x^{5}}{5}=-\dfrac{2x^{5}}{5}.
Somando as primitivas:
F(x)=\dfrac{4x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{2}-\dfrac{2x^{5}}{5}.
Avalie de 0 a 1:
F(1)-F(0)=\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}-0.

Passo 6

Calcular a combinação de frações:
Colocar em denominador comum 30:
\dfrac{4}{3}=\dfrac{40}{30},\qquad \dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{30},\qquad \dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{30}.
Logo
\dfrac{40}{30}-\dfrac{15}{30}-\dfrac{12}{30}=\dfrac{40-15-12}{30}=\dfrac{13}{30}.
Para aumentar a confiança: este é o valor final da integral dupla.

Resposta

\dfrac{13}{30}

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