(2pt) Use integrais triplas em coordenadas esféricas para calcular
\iiint_{R} \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}} d x d y d z
onde R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iiint_{R} \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\;dx\,dy\,dz
onde a região R é o conjunto dos pontos em \mathbb{R}^{3} tais que
4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 16.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
  • A região R é a casca esférica entre duas esferas centradas na origem: a esfera de raio 2 (porque 2^{2}=4) e a esfera de raio 4 (porque 4^{2}=16).
  • Não há restrições angulares; a casca é completa em todas as direções.

Passo 2

Escolha natural das coordenadas: como a região R é definida apenas por x^{2}+y^{2}+z^{2} entre dois valores, é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Antes de transformar a integral, vou explicar o que são e qual é a fórmula de mudança de variáveis.
Definição e fórmula de mudança (aula rápida):
  • Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho, \varphi e \theta definidas por
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal (no plano xy).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: ele aparece porque a pequena variação em cada direção gera um paralelepípedo curvilíneo com dimensões proporcionais a \rho\,d\varphi, \rho\sin\varphi\,d\theta e d\rho; multiplicando produz \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.]

Passo 3

Transformando a função e os limites:
  • A função depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, que em esféricas é \rho^{2}. Então
\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=\sqrt{16-\rho^{2}}.
  • A região R em esféricas fica simplesmente 2\le \rho\le 4, com \varphi variando de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi (casca esférica completa).
Portanto a integral torna-se
\iiint_{R} \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\;dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=2}^{4} \sqrt{16-\rho^{2}}\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separação das integrais angulares (porque integrando em \varphi e \theta o integrando separa):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{4} \sqrt{16-\rho^{2}}\;\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi\right) \left(\int_{2}^{4}\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho\right).
Calcule as duas integrais angulares fáceis:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 2.
Multiplicando: 2\pi \cdot 2 = 4\pi. Assim a integral completa vale
4\pi \int_{2}^{4}\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho.

Passo 5

Agora foco na integral radial
I = \int_{2}^{4}\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho.
Vou transformar essa integral usando uma substituição trigonométrica que simplifica \sqrt{16-\rho^{2}}. Uma escolha natural é pôr \rho=4\sin t porque então 16-\rho^{2}=16(1-\sin^{2}t)=16\cos^{2}t e a raiz fica simples.
Substituição:
\rho = 4\sin t,\qquad d\rho = 4\cos t\;dt.
Quando \rho=2 temos \sin t = \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}, logo t=\tfrac{\pi}{6}.
Quando \rho=4 temos \sin t =1, logo t=\tfrac{\pi}{2}.
Expressando a integranda:
\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}} = (4\sin t)^{2}\sqrt{16-16\sin^{2}t} = 16\sin^{2}t\cdot 4\cos t = 64\sin^{2}t\cos t.
E d\rho = 4\cos t\,dt. Então
\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho = 64\sin^{2}t\cos t \cdot 4\cos t\,dt = 256\sin^{2}t\cos^{2}t\;dt.
Portanto
I = \int_{t=\pi/6}^{\pi/2} 256\sin^{2}t\cos^{2}t\;dt.

Passo 6

Simplificar a integral trigonométrica usando identidades:
  • Use \sin^{2}t\cos^{2}t = \dfrac{1}{4}\sin^{2}(2t), porque \sin(2t)=2\sin t\cos t e ao quadrado dá 4\sin^{2}t\cos^{2}t.
    Assim
256\sin^{2}t\cos^{2}t = 256\cdot \frac{1}{4}\sin^{2}(2t) = 64\sin^{2}(2t).
Logo
I = 64\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin^{2}(2t)\;dt.
Agora use a identidade de redução \sin^{2}u = \dfrac{1-\cos(2u)}{2} com u=2t:
\sin^{2}(2t) = \frac{1-\cos(4t)}{2}.
Logo
I = 64\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1-\cos(4t)}{2}\;dt = 32\int_{\pi/6}^{\pi/2}\big(1-\cos(4t)\big)\;dt.

Passo 7

Calcule a integral explícita:
I = 32\left[\;t - \frac{1}{4}\sin(4t)\;\right]_{t=\pi/6}^{t=\pi/2}.
Avalie nos limites:
  • Em t=\pi/2:
t - \frac{1}{4}\sin(4t) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin(2\pi) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}.
  • Em t=\pi/6:
t - \frac{1}{4}\sin(4t) = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{4\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right).
Sabendo que \sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
t - \frac{1}{4}\sin(4t)\Big|_{t=\pi/6} = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}.
Subtraindo:
I = 32\left(\frac{\pi}{2} - \left[\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right]\right) = 32\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right).
Calcule cada termo:
\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6}-\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}.
Então
I = 32\left(\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = 32\cdot\frac{2\pi}{3} + 32\cdot\frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{64\pi}{3} + 4\sqrt{3}.
Observação: aqui I é apenas a integral radial; ainda falta multiplicar pelo fator 4\pi das integrais angulares.

Passo 8

Multiplicar pelo fator angular 4\pi:
\iiint_{R} \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}\;dx\,dy\,dz = 4\pi\cdot I = 4\pi\left(\frac{64\pi}{3} + 4\sqrt{3}\right).
Distribuindo:
4\pi\cdot\frac{64\pi}{3} = \frac{256\pi^{2}}{3}, \qquad 4\pi\cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3}.
Portanto o valor final é
\frac{256\pi^{2}}{3} + 16\pi\sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{256\pi^{2}}{3} + 16\pi\sqrt{3}

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