(2pt) Use integrais triplas em coordenadas esféricas para calcular \iiint_{R} \sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}} d x d y d z
onde R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 16\right\}
onde a região R é o conjunto dos pontos em \mathbb{R}^{3} tais que
4 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 16.
Dados importantes extraídos do enunciado:
A função a integrar é f(x,y,z)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
A região R é a casca esférica entre duas esferas centradas na origem: a esfera de raio 2 (porque 2^{2}=4) e a esfera de raio 4 (porque 4^{2}=16).
Não há restrições angulares; a casca é completa em todas as direções.
Passo 2
Escolha natural das coordenadas: como a região R é definida apenas por x^{2}+y^{2}+z^{2} entre dois valores, é muito conveniente usar coordenadas esféricas. Antes de transformar a integral, vou explicar o que são e qual é a fórmula de mudança de variáveis.
Definição e fórmula de mudança (aula rápida):
Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho, \varphi e \theta definidas por
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\[4pt] y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\[4pt] z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal (no plano xy).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: ele aparece porque a pequena variação em cada direção gera um paralelepípedo curvilíneo com dimensões proporcionais a \rho\,d\varphi, \rho\sin\varphi\,d\theta e d\rho; multiplicando produz \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.]
Passo 3
Transformando a função e os limites:
A função depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, que em esféricas é \rho^{2}. Então
\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}=\sqrt{16-\rho^{2}}.
A região R em esféricas fica simplesmente 2\le \rho\le 4, com \varphi variando de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi (casca esférica completa).
I = \int_{2}^{4}\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho.
Vou transformar essa integral usando uma substituição trigonométrica que simplifica \sqrt{16-\rho^{2}}. Uma escolha natural é pôr \rho=4\sin t porque então 16-\rho^{2}=16(1-\sin^{2}t)=16\cos^{2}t e a raiz fica simples.
Substituição:
\rho = 4\sin t,\qquad d\rho = 4\cos t\;dt.
Quando \rho=2 temos \sin t = \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}, logo t=\tfrac{\pi}{6}.
Quando \rho=4 temos \sin t =1, logo t=\tfrac{\pi}{2}.
Expressando a integranda:
\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}} = (4\sin t)^{2}\sqrt{16-16\sin^{2}t} = 16\sin^{2}t\cdot 4\cos t = 64\sin^{2}t\cos t.
E d\rho = 4\cos t\,dt. Então
\rho^{2}\sqrt{16-\rho^{2}}\;d\rho = 64\sin^{2}t\cos t \cdot 4\cos t\,dt = 256\sin^{2}t\cos^{2}t\;dt.
Portanto
I = \int_{t=\pi/6}^{\pi/2} 256\sin^{2}t\cos^{2}t\;dt.
Passo 6
Simplificar a integral trigonométrica usando identidades:
Use \sin^{2}t\cos^{2}t = \dfrac{1}{4}\sin^{2}(2t), porque \sin(2t)=2\sin t\cos t e ao quadrado dá 4\sin^{2}t\cos^{2}t.
Assim