Calcule cada uma das integrais.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x^{2} y^{2}) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (x^{2}y^{2})\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A região de integração é o quadrado com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1.
  • A função integrada é f(x,y)=x^{2}y^{2}.
  • A ordem indicada é primeiro integrar em y (de 0 a 1) e depois em x (de 0 a 1).

Passo 2

Observação útil: a função é separável porque
x^{2}y^{2} = (x^{2})\cdot(y^{2}).
Quando a integranda é produto de uma função só de x e outra só de y, ao integrar em y podemos tratar x^{2} como constante em relação a y. Assim podemos escrever a integral interna como
\int_{0}^{1} x^{2}y^{2}\,dy = x^{2}\int_{0}^{1} y^{2}\,dy,
usando a propriedade de fatoração de constantes na integral (regra da linearidade).

Passo 3

Lembrete da regra de potências para primitivas: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=2, obtemos
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Agora avaliamos a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.
Portanto a integral interna fica
\int_{0}^{1} x^{2}y^{2}\,dy = x^{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{x^{2}}{3}.

Passo 4

Agora integramos a expressão obtida em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^{2}\,dx,
novamente puxando a constante \tfrac{1}{3} para fora da integral. Usamos a regra de potências com n=2 para x:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Assim
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Então
\frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{9}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (para fixar a ideia): como a região é um produto [0,1]\times[0,1] e f(x,y)=g(x)h(y) com g(x)=x^{2} e h(y)=y^{2}, vale a propriedade
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} g(x)h(y)\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} h(y)\,dy\right).
Aqui ambas as integrais são \tfrac{1}{3}, logo o produto é \tfrac{1}{9}, confirmando o resultado anterior. Um exemplo parecido: \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x y\,dy\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{9}

Exercícios relacionados