Calcule cada uma das integrais. \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x^{2} y^{2}) d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (x^{2}y^{2})\,dy\,dx.
Informações dadas:
A região de integração é o quadrado com x variando de 0 a 1 e y variando de 0 a 1.
A função integrada é f(x,y)=x^{2}y^{2}.
A ordem indicada é primeiro integrar em y (de 0 a 1) e depois em x (de 0 a 1).
Passo 2
Observação útil: a função é separável porque
x^{2}y^{2} = (x^{2})\cdot(y^{2}).
Quando a integranda é produto de uma função só de x e outra só de y, ao integrar em y podemos tratar x^{2} como constante em relação a y. Assim podemos escrever a integral interna como
Breve verificação alternativa (para fixar a ideia): como a região é um produto [0,1]\times[0,1] e f(x,y)=g(x)h(y) com g(x)=x^{2} e h(y)=y^{2}, vale a propriedade
Aqui ambas as integrais são \tfrac{1}{3}, logo o produto é \tfrac{1}{9}, confirmando o resultado anterior. Um exemplo parecido: \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x y\,dy\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.