Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(2+\sin \frac{x}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(2 + \sin\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e a antiderivada de \sin, usando também substituição simples.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, separamos em duas partes:
\int\bigl(2 + \sin\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx = \int 2\,dx \;+\; \int \sin\tfrac{x}{3}\,dx.

Passo 3

A integral da constante 2 é imediata:
\int 2\,dx = 2x.

Passo 4

Para \displaystyle \int \sin\tfrac{x}{3}\,dx, fazemos a substituição
u = \tfrac{x}{3} \quad\Longrightarrow\quad dx = 3\,du.
Assim,
\int \sin\tfrac{x}{3}\,dx = \int \sin(u)\,\bigl(3\,du\bigr) = 3\int \sin(u)\,du = -3\cos(u).

Passo 5

Voltando a variável x e somando as duas partes, obtemos
\int\bigl(2 + \sin\tfrac{x}{3}\bigr)\,dx = 2x \;-\; 3\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

2x \;-\; 3\cos\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C

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