Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(e^{2 t}+2\right)^{1 / 3} e^{2 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{1/3} e^{2t}\,dt.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição em integrais de funções compostas, pois temos uma função interna e^{2t}+2 elevada a um expoente e multiplicada por sua derivada aparente e^{2t}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{2t} + 2.
Então
\frac{du}{dt} = 2\,e^{2t} \quad\Longrightarrow\quad du = 2\,e^{2t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{2t}\,dt = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{1/3} e^{2t}\,dt = \int u^{1/3}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/3}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrar u^{1/3}:
\int u^\alpha\,du = \frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C,
onde aqui \alpha = \tfrac{1}{3}. Logo,
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}\,u^{4/3} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac12 que ficou fora da integral, resulta
\frac{1}{2}\int u^{1/3}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{3}{4}\,u^{4/3} + C = \frac{3}{8}\,u^{4/3} + C.

Passo 5

Retornando à variável original t com u = e^{2t}+2, concluímos que
\int \bigl(e^{2t}+2\bigr)^{1/3} e^{2t}\,dt = \frac{3}{8}\,\bigl(e^{2t}+2\bigr)^{4/3} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}(e^{2t}+2)^{4/3} + C

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