Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(x^{3}-2\right)^{1 / 7} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(x^{3}-2\bigr)^{1/7} \,x^{2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição, visto que dentro de (x^{3}-2)^{1/7} aparece uma função cuja derivada (em parte) está presente multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3}-2,
então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Em função de u, a integral vira
\int \bigl(x^{3}-2\bigr)^{1/7} \,x^{2}\,dx =\int u^{1/7}\cdot \frac{1}{3}\,du =\frac{1}{3}\int u^{1/7}\,du.
Agora usamos a fórmula de potência:
\int u^{1/7}\,du =\frac{u^{1/7+1}}{1/7+1} =\frac{u^{8/7}}{8/7} =\frac{7}{8}\,u^{8/7}.
Logo
\frac{1}{3}\int u^{1/7}\,du =\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8}\,u^{8/7} =\frac{7}{24}\,u^{8/7}.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = x^{3}-2:
\int \bigl(x^{3}-2\bigr)^{1/7} x^{2}\,dx =\frac{7}{24}\,\bigl(x^{3}-2\bigr)^{8/7}+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{7}{24}\,\bigl(x^{3}-2\bigr)^{8/7}+C

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