Considere a=\left(\operatorname{cotg} 1^{\circ}\right)\left(\operatorname{cotg} 2^{\circ}\right) \cdot \ldots \cdot\left(\operatorname{cotg} 88^{\circ}\right)\left(\operatorname{cotg} 89^{\circ}\right). Determine o conjunto solução da inequação:
\cos (2 x)+\operatorname{sen}(x)>2^{a}-1, x \in[0, \pi]
e assinale a opção correta.
(A) ] 0, \pi / 3[\cup]^{2 \pi / 3}, \pi[
(B) ] 0, \pi / 4[\cup]^{3 \pi / 4}, \pi[
(C) ] 0, \pi / 6[\cup] \pi / 4, \pi[
(D) ] 0, \pi / 6[\cup] 5 \pi / 6, \pi[
(E) ] 0, \pi[

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro calcular
a = \prod_{k=1}^{89} \operatorname{cotg}\bigl(k^\circ\bigr)
e depois resolver a inequação
\cos(2x)+\operatorname{sen}(x)>2^{a}-1,\quad x\in[0,\pi].
Vamos usar identidade de cotangentes para o produto e, em seguida, identidade de cosseno do ângulo duplo para reduzir a inequação a algo em \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Para computar
\prod_{k=1}^{89} \operatorname{cotg}\bigl(k^\circ\bigr)
observe que, para cada k entre 1 e 44,
\operatorname{cotg}(k^\circ)\,\operatorname{cotg}\bigl((90-k)^\circ\bigr) =\operatorname{cotg}(k^\circ)\,\tan(k^\circ)=1.
Além disso, sobra o termo do meio \operatorname{cotg}(45^\circ)=1. Logo o produto inteiro vale
a=1^{44}\times 1 = 1.

Passo 3

Com a=1, temos
2^{a}-1 = 2^1-1 = 1,
e a inequação vira
\cos(2x)+\operatorname{sen}(x) > 1.
Usando \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2(x), reescrevemos o lado esquerdo:
1-2\operatorname{sen}^2(x)+\operatorname{sen}(x)>1 \;\Longrightarrow\; -2\operatorname{sen}^2(x)+\operatorname{sen}(x)>0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(x)\,\bigl(1-2\operatorname{sen}(x)\bigr)>0.

Passo 4

A condição
\operatorname{sen}(x)\,\bigl(1-2\operatorname{sen}(x)\bigr)>0
é satisfeita se ambos fatores forem positivos ou ambos negativos.
  1. Ambos positivos:
\operatorname{sen}(x)>0 \quad\text{e}\quad 1-2\operatorname{sen}(x)>0\;\Longrightarrow\;\operatorname{sen}(x)<\tfrac12.
Em [0,\pi], \operatorname{sen}(x)>0 em (0,\pi) e \operatorname{sen}(x)<\tfrac12 em (0,\tfrac{\pi}{6})\cup(5\tfrac{\pi}{6},\pi). A interseção dá
x\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{6}\bigr)\;\cup\;\bigl(5\tfrac{\pi}{6},\pi\bigr).
  1. Ambos negativos daria \operatorname{sen}(x)<0 e 1-2\operatorname{sen}(x)<0, mas \operatorname{sen}(x)<0 em [0,\pi] não ocorre, então não há mais soluções.

Passo 5

Portanto a solução da inequação em [0,\pi] é
\bigl(0,\tfrac{\pi}{6}\bigr)\;\cup\;\bigl(5\tfrac{\pi}{6},\pi\bigr),
que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) ]0, π/6[ ∪ ] 5\pi/6, π[

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