Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(x+e^{3 x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \bigl(x + e^{3x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, usando a propriedade linear da integral e as regras básicas de antiderivação: a regra do polinômio \int x\,dx e a regra do exponencial \int e^{ax}\,dx.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de linearidade da integral, que diz
\int \bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
Então
\int \bigl(x + e^{3x}\bigr)\,dx = \int x\,dx + \int e^{3x}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int x\,dx, usamos a regra do polinômio \int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1) para n\neq -1. Aqui n=1, logo
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int e^{3x}\,dx, usamos que
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{a x},
para a\neq 0. Aqui a=3, logo
\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\,e^{3x}.

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int \bigl(x + e^{3x}\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} + \frac{e^{3x}}{3} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2} + \frac{e^{3x}}{3} + C.

Exercícios relacionados