Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, z) e a curva \gamma(t)=(\cos t, sen t, t), com 0 \leq t \leq 2.
(a) O campo \vec{F} é conservativo?
(b) Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(-y,x,z) e a curva parametrizada por \gamma(t)=(\cos t,\operatorname{sen} t,t), com 0\le t\le2. Precisamos (1) verificar se \vec F é conservativo, o que envolve calcular o rotacional \nabla\times\vec F, e (2) computar a integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r usando a parametrização.

Passo 2

Para checar se \vec F é conservativo, lembramos que num domínio simplesmente conexo basta verificar se o rotacional é zero:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ -y&x&z \end{vmatrix}
Calculando componente a componente:
(\nabla\times\vec F)_x =\frac{\partial}{\partial y}(z)-\frac{\partial}{\partial z}(x)=0-0=0,
(\nabla\times\vec F)_y =\frac{\partial}{\partial z}(-y)-\frac{\partial}{\partial x}(z)=0-0=0,
(\nabla\times\vec F)_z =\frac{\partial}{\partial x}(x)-\frac{\partial}{\partial y}(-y)=1-(-1)=2.
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\nabla\times\vec F=(0,0,2)\neq(0,0,0),
portanto \vec F não é conservativo.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r, usamos a parametrização. Primeiro obtemos
\vec r(t)=(\cos t,\operatorname{sen} t,t), \quad \vec r\,'(t)=(-\operatorname{sen} t,\cos t,1).
Em seguida avaliamos \vec F em \vec r(t):
\vec F(\vec r(t)) =(-\,\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;t).
O produto escalar fica
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =(-\operatorname{sen} t)(-\,\operatorname{sen} t)+(\cos t)(\cos t)+t\cdot1 =\operatorname{sen}^2t+\cos^2t+t =1+t.

Passo 4

Agora integramos de t=0 a t=2:
\int_{0}^{2}\bigl(1+t\bigr)\,dt =\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2} =\Bigl(2+\frac{4}{2}\Bigr)-0 =2+2 =4.

Resposta

(a) \vec F não é conservativo.
(b) \displaystyle\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=4.

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