Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, z) e a curva \gamma(t)=(\cos t, sen t, t), com 0 \leq t \leq 2.
(a) O campo \vec{F} é conservativo?
(b) Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial \vec F(x,y,z)=(-y,x,z) e a curva parametrizada por \gamma(t)=(\cos t,\operatorname{sen} t,t), com 0\le t\le2. Precisamos (1) verificar se \vec F é conservativo, o que envolve calcular o rotacional \nabla\times\vec F, e (2) computar a integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r usando a parametrização.
Passo 2
Para checar se \vec F é conservativo, lembramos que num domínio simplesmente conexo basta verificar se o rotacional é zero:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ -y&x&z \end{vmatrix}