Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
(retângulos circunscritos)
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos: calcular a integral
diretamente como limite de somas de Riemann.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Intervalo de integração:
. - Função integranda:
. - Devemos usar partições com subintervalos de mesmo comprimento.
- Devemos usar retângulos circunscritos (isto é, escolher, em cada subintervalo, o ponto que dá a altura do retângulo de forma a que o retângulo esteja por cima do gráfico quando isso for possível).
Passo 2
Ideia das somas de Riemann (aula rápida e intuitiva): dividir o intervalo
em
subintervalos de mesmo comprimento
, aproximar a área sob a curva por soma de áreas de retângulos e, finalmente, fazer
. A soma de Riemann geral é
onde
é um ponto escolhido no
-ésimo subintervalo. Para retângulos circunscritos devemos escolher, em cada subintervalo, o ponto que produz a altura do retângulo que “circunscreve” a região (isto corresponde ao supremo do valor da função no subintervalo). Se
for crescente, o supremo em cada subintervalo é o valor no extremo direito; se
for decrescente, o supremo é no extremo esquerdo.
Passo 3
Verificamos monotonicidade de
: como
tem derivada
para todo
,
é crescente. Logo, para retângulos circunscritos devemos escolher o extremo direito de cada subintervalo como ponto amostral.
Agora definimos a partição uniforme: . Os pontos da partição são
Agora definimos a partição uniforme:
Passo 4
Escolhemos, para cada subintervalo, o extremo direito como ponto amostral:
Calculamos a altura do retângulo no
-ésimo subintervalo:
Passo 5
Escrevemos a soma de Riemann com estas alturas:
Colocando o fator
fora da soma:
Passo 6
Separamos a soma em duas partes:
Calculamos cada soma conhecida:
e
. Substituindo:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro do parêntese:
Portanto
Passo 8
Distribuímos e simplificamos:
Agora tomamos o limite quando
, que define a integral de Riemann:
Passo 9
Checagem rápida (opcional): a primitiva de
é
. Avaliando entre
e
:
confirmação do resultado obtido pelo limite das somas de Riemann. Bom trabalho — você conseguiu chegar ao resultado pelo método pedido!