Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
\int_{4}^{7}(2 x-6) d x (retângulos circunscritos)

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos: calcular a integral \displaystyle \int_{4}^{7} (2x-6)\,dx diretamente como limite de somas de Riemann.
Informações relevantes:
  • Intervalo de integração: [4,7].
  • Função integranda: f(x)=2x-6.
  • Devemos usar partições com subintervalos de mesmo comprimento.
  • Devemos usar retângulos circunscritos (isto é, escolher, em cada subintervalo, o ponto que dá a altura do retângulo de forma a que o retângulo esteja por cima do gráfico quando isso for possível).

Passo 2

Ideia das somas de Riemann (aula rápida e intuitiva): dividir o intervalo [4,7] em n subintervalos de mesmo comprimento \Delta x, aproximar a área sob a curva por soma de áreas de retângulos e, finalmente, fazer n\to\infty. A soma de Riemann geral é
S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x,
onde x_i^* é um ponto escolhido no i-ésimo subintervalo. Para retângulos circunscritos devemos escolher, em cada subintervalo, o ponto que produz a altura do retângulo que “circunscreve” a região (isto corresponde ao supremo do valor da função no subintervalo). Se f for crescente, o supremo em cada subintervalo é o valor no extremo direito; se f for decrescente, o supremo é no extremo esquerdo.

Passo 3

Verificamos monotonicidade de f: como f(x)=2x-6 tem derivada f'(x)=2>0 para todo x, f é crescente. Logo, para retângulos circunscritos devemos escolher o extremo direito de cada subintervalo como ponto amostral.
Agora definimos a partição uniforme: \Delta x=\dfrac{7-4}{n}=\dfrac{3}{n}. Os pontos da partição são
x_k=4+k\Delta x=4+\frac{3k}{n},\qquad k=0,1,\dots,n.

Passo 4

Escolhemos, para cada subintervalo, o extremo direito como ponto amostral:
x_i^*=x_i=4+\frac{3i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
Calculamos a altura do retângulo no i-ésimo subintervalo:
f(x_i)=2x_i-6=2\Bigl(4+\frac{3i}{n}\Bigr)-6=8+\frac{6i}{n}-6=2+\frac{6i}{n}.

Passo 5

Escrevemos a soma de Riemann com estas alturas:
S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}\Bigl(2+\frac{6i}{n}\Bigr)\cdot\frac{3}{n}.
Colocando o fator \dfrac{3}{n} fora da soma:
S_n=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(2+\frac{6i}{n}\Bigr).

Passo 6

Separamos a soma em duas partes:
S_n=\frac{3}{n}\Biggl(\sum_{i=1}^{n}2 \;+\; \sum_{i=1}^{n}\frac{6i}{n}\Biggr).
Calculamos cada soma conhecida: \sum_{i=1}^{n}2=2n e \sum_{i=1}^{n}i=\dfrac{n(n+1)}{2}. Substituindo:
S_n=\frac{3}{n}\Biggl(2n+\frac{6}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\Biggr).

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro do parêntese:
\frac{6}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=3(n+1).
Portanto
S_n=\frac{3}{n}\bigl(2n+3(n+1)\bigr)=\frac{3}{n}\bigl(2n+3n+3\bigr)=\frac{3}{n}(5n+3).

Passo 8

Distribuímos e simplificamos:
S_n=\frac{3}{n}(5n+3)=15+\frac{9}{n}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty, que define a integral de Riemann:
\int_{4}^{7}(2x-6)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\Bigl(15+\frac{9}{n}\Bigr)=15.

Passo 9

Checagem rápida (opcional): a primitiva de 2x-6 é x^2-6x. Avaliando entre 4 e 7:
\bigl(7^2-6\cdot7\bigr)-\bigl(4^2-6\cdot4\bigr)=(49-42)-(16-24)=7-(-8)=15,
confirmação do resultado obtido pelo limite das somas de Riemann. Bom trabalho — você conseguiu chegar ao resultado pelo método pedido!

Resposta

15

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