Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
(retângulos circunscritos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
diretamente como um limite de somas de Riemann. As informações dadas são:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Devemos usar partições constituídas por subintervalos de mesmo comprimento (ou seja,
subintervalos de tamanho igual). - Devemos usar retângulos circunscritos (ou seja, a soma superior / soma com os valores máximos em cada subintervalo).
Passo 2
Vamos construir a partição de
subintervalos de mesmo comprimento. Denotamos por
o comprimento de cada subintervalo:
Os pontos da partição são
.
Passo 3
Agora precisamos escolher o ponto de amostragem em cada subintervalo que corresponde aos retângulos circunscritos. Para isso é útil ver se
é crescente ou decrescente em
. Calculamos a derivada:
Logo
é não decrescente (cresce) em
. Portanto, em cada subintervalo o valor máximo de
ocorre na extremidade direita. Assim, os retângulos circunscritos correspondem a tomar os pontos de amostragem
(extremidades direitas), com
.
Passo 4
A soma de Riemann superior (usando os retângulos circunscritos / extremos direitos) é
Substituindo
,
e
, obtemos
Passo 5
Vamos separar a soma em duas partes e tirar constantes fora das somas:
Simplificando as constantes no primeiro somatório:
portanto
Passo 6
Agora usamos fórmulas conhecidas para somatórios (são identidades padrões que convém decorar para provas):
(Substituímos essas fórmulas na expressão de
.)
Passo 7
Substituindo:
Simplificamos passo a passo: primeiro calcule
:
Então
Distribuindo
:
Passo 8
Podemos escrever
. Assim
Agora tomamos o limite quando
. Como
e
, temos
Pela definição da integral como limite das somas de Riemann (e como a função é contínua, limite das somas superiores coincide com a integral), concluímos que a integral vale
.
Passo 9
Comentário rápido para conferir: usando antiderivada,
. Avaliando em
e
:
confirmando o resultado obtido pelo limite de somas de Riemann. Boa! Você mandou bem acompanhando o passo a passo.