Calcule cada integral de Riemann diretamente através de um limite das somas de Riemann. Use partições constituídas de subintervalos de mesmo comprimento e use retângulos inscritos ou circunscritos conforme esteja indicado.
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2\right) d x (retângulos circunscritos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2\right)\,dx
diretamente como um limite de somas de Riemann. As informações dadas são:
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • A função integranda é f(x)=x^{3}+2.
  • Devemos usar partições constituídas por subintervalos de mesmo comprimento (ou seja, n subintervalos de tamanho igual).
  • Devemos usar retângulos circunscritos (ou seja, a soma superior / soma com os valores máximos em cada subintervalo).

Passo 2

Vamos construir a partição de n subintervalos de mesmo comprimento. Denotamos por \Delta x o comprimento de cada subintervalo:
\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}.
Os pontos da partição são x_0=0,\; x_1=\frac{2}{n},\; x_2=\frac{4}{n},\;\dots,\; x_i=\frac{2i}{n},\;\dots,\; x_n=2.

Passo 3

Agora precisamos escolher o ponto de amostragem em cada subintervalo que corresponde aos retângulos circunscritos. Para isso é útil ver se f é crescente ou decrescente em [0,2]. Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in[0,2].
Logo f é não decrescente (cresce) em [0,2]. Portanto, em cada subintervalo o valor máximo de f ocorre na extremidade direita. Assim, os retângulos circunscritos correspondem a tomar os pontos de amostragem x_i (extremidades direitas), com i=1,2,\dots,n.

Passo 4

A soma de Riemann superior (usando os retângulos circunscritos / extremos direitos) é
U_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x.
Substituindo f(x_i)=\left(x_i\right)^{3}+2, x_i=\dfrac{2i}{n} e \Delta x=\dfrac{2}{n}, obtemos
U_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\frac{2i}{n}\right)^{3}+2\right]\cdot\frac{2}{n}.

Passo 5

Vamos separar a soma em duas partes e tirar constantes fora das somas:
U_{n}=\frac{2}{n}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2i}{n}\right)^{3} + \sum_{i=1}^{n} 2\right).
Simplificando as constantes no primeiro somatório:
\left(\frac{2i}{n}\right)^{3}=\frac{8i^{3}}{n^{3}},
portanto
U_{n}=\frac{2}{n}\left(\frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{3} + 2\sum_{i=1}^{n}1\right).

Passo 6

Agora usamos fórmulas conhecidas para somatórios (são identidades padrões que convém decorar para provas):
\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}, \qquad \sum_{i=1}^{n} 1 = n.
(Substituímos essas fórmulas na expressão de U_n.)

Passo 7

Substituindo:
U_{n}=\frac{2}{n}\left(\frac{8}{n^{3}}\cdot\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} + 2n\right).
Simplificamos passo a passo: primeiro calcule \dfrac{8}{n^{3}}\cdot\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^{2}:
\frac{8}{n^{3}}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} = \frac{8}{4}\cdot\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{n^{3}} =2\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n}.
Então
U_{n}=\frac{2}{n}\left(2\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n} + 2n\right).
Distribuindo \dfrac{2}{n}:
U_{n}=\frac{4(n+1)^{2}}{n^{2}} + 4.

Passo 8

Podemos escrever \dfrac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}=1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}. Assim
U_{n}=4\left(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)+4 = 8 + \frac{8}{n} + \frac{4}{n^{2}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty} U_{n} = 8.
Pela definição da integral como limite das somas de Riemann (e como a função é contínua, limite das somas superiores coincide com a integral), concluímos que a integral vale 8.

Passo 9

Comentário rápido para conferir: usando antiderivada, \int (x^{3}+2)\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}+2x. Avaliando em 0 e 2:
\left.\left(\frac{x^{4}}{4}+2x\right)\right|_{0}^{2} = \left(\frac{16}{4}+4\right)-0 = 4+4=8,
confirmando o resultado obtido pelo limite de somas de Riemann. Boa! Você mandou bem acompanhando o passo a passo.

Resposta

8

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