Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Escrever explicitamente os termos da soma
— ou seja, listar cada termo da soma. - Achar o valor numérico dessa soma (isto é, encontrar uma fórmula fechada em função de
).
Informações dadas: temos a soma com índice
que vai de
até
da expressão
. Consideramos
como um inteiro positivo.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente os termos da soma: substituir
em
. Assim,
Simplificando cada termo,
Passo 3
É conveniente trocar o índice para uma notação mais comum. Defina
. Quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Como o termo
é
, podemos também escrever
Passo 4
Agora precisamos de uma fórmula para a soma dos quadrados. A identidade bem conhecida é
onde
é um inteiro positivo e o lado esquerdo significa somar
.
Vou dar uma dedução curta e clara dessa fórmula usando somas de cubes telescópicas, para você entender de onde vem (é um truque útil para a prova):
Considere a diferença de cubos
Somando essa igualdade para
obtemos no lado esquerdo uma soma telescópica:
No lado direito temos
Observe que
(pois
); similarmente
. Usando as fórmulas conhecidas
temos
Isolando
e depois somando o termo
para alcançar
, chega-se (após álgebra direta) à fórmula
(Se quiser, depois eu te mostro a álgebra linha a linha; por enquanto guarde a fórmula, ela é padrão e facilmente aplicável.)
Passo 5
Aplicamos a fórmula com
. Como vimos,
Logo, usando a fórmula,
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se
,
A fórmula dá
confirmação perfeita.