Escreva explicitamente cada soma e, a seguir, ache seu valor numérico.
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Escrever explicitamente os termos da soma \sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2} — ou seja, listar cada termo da soma.
  2. Achar o valor numérico dessa soma (isto é, encontrar uma fórmula fechada em função de n).
Informações dadas: temos a soma com índice k que vai de 1 até n da expressão (k-1)^{2}. Consideramos n como um inteiro positivo.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente os termos da soma: substituir k=1,2,3,\dots,n em (k-1)^{2}. Assim,
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}= (1-1)^{2} + (2-1)^{2} + (3-1)^{2} + \cdots + (n-1)^{2}.
Simplificando cada termo,
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}= 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} + \cdots + (n-1)^{2}.

Passo 3

É conveniente trocar o índice para uma notação mais comum. Defina j=k-1. Quando k=1 temos j=0; quando k=n temos j=n-1. Portanto
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}=\sum_{j=0}^{\,n-1} j^{2}.
Como o termo j=0 é 0^{2}=0, podemos também escrever
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}=\sum_{j=1}^{\,n-1} j^{2}.

Passo 4

Agora precisamos de uma fórmula para a soma dos quadrados. A identidade bem conhecida é
\sum_{j=1}^{m} j^{2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6},
onde m é um inteiro positivo e o lado esquerdo significa somar 1^{2}+2^{2}+\cdots+m^{2}.
Vou dar uma dedução curta e clara dessa fórmula usando somas de cubes telescópicas, para você entender de onde vem (é um truque útil para a prova):
Considere a diferença de cubos
(j+1)^{3}-j^{3}=3j^{2}+3j+1.
Somando essa igualdade para j=0,1,2,\dots,m-1 obtemos no lado esquerdo uma soma telescópica:
\sum_{j=0}^{m-1}\big((j+1)^{3}-j^{3}\big)=m^{3}-0^{3}=m^{3}.
No lado direito temos
\sum_{j=0}^{m-1}(3j^{2}+3j+1)=3\sum_{j=0}^{m-1}j^{2}+3\sum_{j=0}^{m-1}j+\sum_{j=0}^{m-1}1.
Observe que \sum_{j=0}^{m-1}j^{2}=\sum_{j=1}^{m-1}j^{2} (pois 0^{2}=0); similarmente \sum_{j=0}^{m-1}j=\sum_{j=1}^{m-1}j. Usando as fórmulas conhecidas
\sum_{j=1}^{m-1}j=\frac{(m-1)m}{2},\qquad \sum_{j=0}^{m-1}1=m,
temos
m^{3}=3\sum_{j=1}^{m-1}j^{2}+3\cdot\frac{(m-1)m}{2}+m.
Isolando \sum_{j=1}^{m-1}j^{2} e depois somando o termo m^{2} para alcançar \sum_{j=1}^{m}j^{2}, chega-se (após álgebra direta) à fórmula
\sum_{j=1}^{m} j^{2}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}.
(Se quiser, depois eu te mostro a álgebra linha a linha; por enquanto guarde a fórmula, ela é padrão e facilmente aplicável.)

Passo 5

Aplicamos a fórmula com m=n-1. Como vimos,
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}=\sum_{j=1}^{n-1} j^{2}.
Logo, usando a fórmula,
\sum_{j=1}^{n-1} j^{2}=\frac{(n-1)\,n\,(2(n-1)+1)}{6}.
Simplificando 2(n-1)+1=2n-2+1=2n-1, obtemos
\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}=\frac{(n-1)\,n\,(2n-1)}{6}.

Passo 6

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: se n=5,
\sum_{k=1}^{5}(k-1)^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=0+1+4+9+16=30.
A fórmula dá
\frac{(5-1)\cdot 5\cdot(2\cdot 5-1)}{6}=\frac{4\cdot 5\cdot 9}{6}=\frac{180}{6}=30,
confirmação perfeita.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}=\frac{(n-1)\,n\,(2n-1)}{6}

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