Calcule, em cada item,
, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\frac{3-2 n{2}}{n{2}-1}.
a_{n}=\frac{3-2 n{2}}{n{2}-1}.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para calcular
, caso exista.
Informações relevantes: a sequência é uma razão de polinômios em ; queremos o comportamento quando
cresce sem limite.
Informações relevantes: a sequência é uma razão de polinômios em
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios em
, o termo de maior grau em numerador e denominador domina o comportamento para
grande. Uma técnica prática é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
presente (aqui
), obtendo uma forma em que aparecem termos do tipo
que tendem a zero. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Começo dividindo numerador e denominador por
. Escrevo
Agora simplifico
(desde que
, e aqui estamos indo a
, logo
grande):
Passo 4
Estudo os limites das partes que faltam. Para
temos
Explicando por que:
, então
e
são quocientes com denominador que cresce sem limite, logo ambos vão a
. (Se quiser ver com
-definição: dado
, tomando
garante
para todo
.)
Passo 5
Uso regras de limite (se
e
com
, então
). Aqui o numerador
tende a
e o denominador
tende a
. Além disso, o denominador nunca zera para
(pois
), então não há problema em dividir.
Passo 6
Aplicando a regra, concluímos
Intuição alternativa curta: os termos de maior grau no numerador e denominador são
e
; como os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes, isto é
.