Calcule, em cada item, lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\frac{3-2 n{2}}{n{2}-1}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;a_{n}=\dfrac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1}\; e pede para calcular \displaystyle\lim_{n\to+\infty} a_{n}, caso exista.
Informações relevantes: a sequência é uma razão de polinômios em n; queremos o comportamento quando n cresce sem limite.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): quando temos uma razão de polinômios em n, o termo de maior grau em numerador e denominador domina o comportamento para n grande. Uma técnica prática é dividir numerador e denominador pelo maior grau de n presente (aqui n^{2}), obtendo uma forma em que aparecem termos do tipo 1/n^{2} que tendem a zero. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Começo dividindo numerador e denominador por n^{2}. Escrevo
a_{n}=\frac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1}=\frac{n^{2}\!\left(-2+\dfrac{3}{n^{2}}\right)}{n^{2}\!\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)}.
Agora simplifico n^{2} (desde que n\neq0, e aqui estamos indo a +\infty, logo n grande):
a_{n}=\frac{-2+\dfrac{3}{n^{2}}}{1-\dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Estudo os limites das partes que faltam. Para n\to+\infty temos
\frac{3}{n^{2}}\to 0\qquad\text{e}\qquad \frac{1}{n^{2}}\to 0.
Explicando por que: n^{2}\to+\infty, então 3/n^{2} e 1/n^{2} são quocientes com denominador que cresce sem limite, logo ambos vão a 0. (Se quiser ver com \varepsilon-definição: dado \varepsilon>0, tomando N>\sqrt{3/\varepsilon} garante 3/n^{2}<\varepsilon para todo n\ge N.)

Passo 5

Uso regras de limite (se x_n\to x e y_n\to y com y\neq0, então x_n/y_n\to x/y). Aqui o numerador -2+\dfrac{3}{n^{2}} tende a -2+0=-2 e o denominador 1-\dfrac{1}{n^{2}} tende a 1-0=1. Além disso, o denominador nunca zera para n\ge2 (pois n^{2}-1\ge3), então não há problema em dividir.

Passo 6

Aplicando a regra, concluímos
\lim_{n\to+\infty} a_{n}=\frac{-2}{1}=-2.
Intuição alternativa curta: os termos de maior grau no numerador e denominador são -2n^{2} e n^{2}; como os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes, isto é -2/1=-2.

Resposta

-2

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