Calcule, em cada item,
, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}}.
a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
onde
. Informações dadas relevantes: a sequência é definida para
grandes (onde
faz sentido com
) e queremos saber se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor. Não há outras perguntas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos observar sinais e comportamento qualitativo de
. Para todo
temos
, logo
Isso já nos dá uma cota inferior simples:
. Para concluir que
precisamos uma cota superior que tenda a
. Vou construir essa cota usando uma desigualdade conhecida para o logaritmo natural.
Passo 3
A desigualdade básica que usaremos é
Vou justificar rapidamente essa desigualdade pois é útil e simples: considere a função
Temos
e
para
. Assim
é convexa e atinge seu mínimo em
(pois
). Como
, segue
para todo
, ou seja
. (Se preferir, você pode ver isso como a aproximação de primeira ordem do exponencial ou lembrar que o gráfico de
fica sempre abaixo da reta tangente em
.)
Passo 4
Aplicando a desigualdade
com
(válida para todo
), obtemos
Dividindo ambos os lados por
resulta
Podemos simplificar o lado direito:
Portanto, para todo
temos a desigualdade encadeada
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema do Aperto (também chamado Teorema do Confronto ou Squeeze Theorem). Sabemos que
e
Como para todo
suficientemente grande
, o Teorema do Aperto garante que
Intuitivamente: o numerador
cresce muito mais devagar que
, então a fração vai a zero; a demonstração formal acima usa uma desigualdade simples e o Teorema do Aperto.
Passo 6
(Comentário extra — método alternativo, sem usar a desigualdade) Se você preferir tratar a sequência como valores de uma função contínua
e aplicar L’Hôpital para o limite
: escrevendo como razão de funções que vão a
é possível aplicar L’Hôpital e obter
o que dá a mesma conclusão para a sequência
. Usei o L’Hôpital apenas como explicação alternativa; a solução por desigualdade e Teorema do Aperto é suficiente e mais direta.
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