Calcule, em cada item, lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}, caso exista. Justifique sua fesposta.
a_{n}=\frac{\ln n}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{n\to+\infty} a_n,
onde a_n=\dfrac{\ln n}{n^{2}}. Informações dadas relevantes: a sequência é definida para n\in\mathbb{N} grandes (onde \ln n faz sentido com n\ge1) e queremos saber se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor. Não há outras perguntas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos observar sinais e comportamento qualitativo de a_n. Para todo n\ge1 temos \ln n\ge0, logo
0 \le \frac{\ln n}{n^{2}}.
Isso já nos dá uma cota inferior simples: a_n\ge0. Para concluir que a_n\to0 precisamos uma cota superior que tenda a 0. Vou construir essa cota usando uma desigualdade conhecida para o logaritmo natural.

Passo 3

A desigualdade básica que usaremos é
\ln x \le x-1\quad\text{para todo }x>0.
Vou justificar rapidamente essa desigualdade pois é útil e simples: considere a função
g(x)=x-1-\ln x.
Temos g'(x)=1-\dfrac{1}{x} e g''(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0 para x>0. Assim g é convexa e atinge seu mínimo em x=1 (pois g'(1)=0). Como g(1)=1-1-\ln1=0, segue g(x)\ge0 para todo x>0, ou seja \ln x\le x-1. (Se preferir, você pode ver isso como a aproximação de primeira ordem do exponencial ou lembrar que o gráfico de \ln x fica sempre abaixo da reta tangente em x=1.)

Passo 4

Aplicando a desigualdade \ln x\le x-1 com x=n (válida para todo n\ge1), obtemos
\ln n \le n-1.
Dividindo ambos os lados por n^{2}>0 resulta
\frac{\ln n}{n^{2}} \le \frac{n-1}{n^{2}}.
Podemos simplificar o lado direito:
\frac{n-1}{n^{2}}=\frac{n}{n^{2}}-\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}} \le \frac{1}{n}.
Portanto, para todo n\ge1 temos a desigualdade encadeada
0 \le \frac{\ln n}{n^{2}} \le \frac{1}{n}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Aperto (também chamado Teorema do Confronto ou Squeeze Theorem). Sabemos que
\lim_{n\to\infty} 0 = 0
e
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.
Como para todo n suficientemente grande 0 \le \dfrac{\ln n}{n^{2}} \le \dfrac{1}{n}, o Teorema do Aperto garante que
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n^{2}} = 0.
Intuitivamente: o numerador \ln n cresce muito mais devagar que n^{2}, então a fração vai a zero; a demonstração formal acima usa uma desigualdade simples e o Teorema do Aperto.

Passo 6

(Comentário extra — método alternativo, sem usar a desigualdade) Se você preferir tratar a sequência como valores de uma função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}} e aplicar L’Hôpital para o limite \lim_{x\to\infty} f(x): escrevendo como razão de funções que vão a \infty/\infty é possível aplicar L’Hôpital e obter
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}=0,
o que dá a mesma conclusão para a sequência a_n=f(n). Usei o L’Hôpital apenas como explicação alternativa; a solução por desigualdade e Teorema do Aperto é suficiente e mais direta.

Resposta

0

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