Calcule cada um dos limites abaixo, caso exista(m) e justifique caso não exista(m).
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}-5 x-2}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}.
Informações dadas:
  • Temos uma função racional cujo numerador é 3x^{2}-5x-2 e o denominador é x-2.
  • O ponto de interesse é x=2.
    A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor? Se não existir, justificar por que não existe.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar o que acontece ao substituir x=2 diretamente na expressão. Calcular o numerador e o denominador em x=2.
3\cdot 2^{2}-5\cdot 2-2 = 3\cdot 4 -10 -2 = 12-12 = 0,
x-2\big|_{x=2}=2-2=0.
Portanto a forma obtida é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação — isto é, não dá para concluir o valor do limite só por substituição.

Passo 3

Explicando didaticamente o que significa essa indeterminação e como proceder: quando ao avaliar diretamente obtemos 0/0, isso indica que tanto numerador quanto denominador têm uma raiz comum em x=2. Nessas situações o caminho usual (e elementar) é tentar fatorar o numerador para ver se ele contém o fator (x-2) e então simplificar a expressão, transformando-a numa função equivalente para x\neq 2 que seja contínua em x=2. Outra alternativa (mais avançada) seria usar a regra de L’Hôpital, mas aqui a fatoração é simples e suficiente.

Passo 4

Usar o teste do Teorema do Resto / Teorema do Fator: se um polinômio p(x) satisfaz p(2)=0, então (x-2) é fator de p(x). Já calculamos p(2)=3\cdot2^{2}-5\cdot2-2=0, logo (x-2) divide o numerador. Vamos fatorar o numerador explicitamente.
Procuramos fatores lineares que multipliquem para dar 3x^{2}-5x-2. Uma fatoração que funciona é
3x^{2}-5x-2=(3x+1)(x-2).
Verificação (expansão) para ficar claro:
(3x+1)(x-2)=3x\cdot x + 3x\cdot(-2) + 1\cdot x + 1\cdot(-2)=3x^{2}-6x+x-2=3x^{2}-5x-2.
Portanto a fatoração está correta.

Passo 5

Substituindo essa fatoração no quociente, para x\neq 2 temos
\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}=\frac{(3x+1)(x-2)}{x-2}=3x+1.
Isso mostra que, para todos os x diferentes de 2, a função dada coincide com a função polinomial 3x+1. A indeterminação em x=2 é, portanto, removível: o comportamento da função ao redor de 2 é o mesmo de 3x+1.

Passo 6

Como 3x+1 é uma função polinomial contínua, o limite quando x\to 2 é simplesmente o valor de 3x+1 em 2:
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-5x-2}{x-2}=\lim_{x\to 2}(3x+1)=3\cdot 2+1=7.

Passo 7

Interpretação final curta e motivadora: a expressão original tem uma forma indeterminada 0/0 porque tanto numerador quanto denominador anulam em x=2. Fatorando e cancelando o fator comum obtemos uma função contínua cujo valor em 2 é 7, logo o limite existe e vale 7. Se precisar, na prova: quando der 0/0 tente fatorar e cancelar; é o truque mais rápido sem cálculo diferencial.

Resposta

7

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