(2,0) Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x^{2}+y^{2}=4 quanto do elipsoide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados do enunciado:
    • A região está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=4.)
    • A região também está dentro do elipsoide \,4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=16\.
    • Observação importante: do cilindro pegamos a restrição no plano xy, ou seja, os pares (x,y) que satisfazem \,x^{2}+y^{2}\le 4\.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o volume do sólido que está simultaneamente dentro dos dois corpos dados.
  • Informações úteis extraídas do enunciado (já organizadas para usar depois):
    • A projeção da região no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
    • Para um ponto (x,y) com r^{2}=x^{2}+y^{2}, a equação do elipsoide dá z^{2}=16-4x^{2}-4y^{2}=16-4r^{2}.
    • Portanto, para cada (x,y) no disco de raio 2 o z varia entre z=-\sqrt{16-4r^{2}}\quad\text{e}\quad z=+\sqrt{16-4r^{2}}.

Passo 2

Escolhendo coordenadas apropriadas e escrevendo o volume como integral tripla.
  • Ideia: o volume pode ser calculado integrando, sobre a região projeta no plano xy, a altura em z (diferença entre teto e piso).
  • Para um ponto com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} a altura é
    \Delta z = 2\sqrt{16-4r^{2}}.
  • O elemento de área no plano xy é \,dA=\,dx\,dy. Entretanto, como a projeção é um disco circular é muito mais simples usar coordenadas polares (r,\theta). Em polares:
    x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
    e o elemento de área transforma para
    dA = r\,dr\,d\theta.
    (Explicação rápida do motivo: pequenos retângulos em x,y viram retângulos com um lado dr e outro comprimento r\,d\theta, daí a área r\,dr\,d\theta.)
  • Então o volume V é
    V=\iint_{\text{disco }r\le 2} 2\sqrt{16-4r^{2}}\;dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 2\sqrt{16-4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Simplificar a integral antes de calcular.
  • Factorizando dentro da raiz: \sqrt{16-4r^{2}}=2\sqrt{4-r^{2}}.
  • Substituindo na integral: V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 2\bigl(2\sqrt{4-r^{2}}\bigr)\; r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 4r\sqrt{4-r^{2}}\;dr\,d\theta.
  • A integral em \theta é simples porque o integrando não depende de \theta, então podemos separar: V=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{2} 4r\sqrt{4-r^{2}}\;dr\right) =2\pi\cdot\int_{0}^{2} 4r\sqrt{4-r^{2}}\;dr.
  • Colocando o fator 4 fora: V=8\pi\int_{0}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\;dr.

Passo 4

Avaliar a integral radial \int_{0}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\;dr por substituição.
  • Vamos usar a substituição padrão para raízes do tipo \sqrt{a-r^{2}}. Defina u=4-r^{2}.Então du=-2r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=-\frac{1}{2}\,du.
  • Mudar os limites:
    • Quando r=0, u=4-0^{2}=4.
    • Quando r=2, u=4-2^{2}=0.
  • Substituindo na integral: \int_{0}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\;dr =\int_{u=4}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) =\frac{1}{2}\int_{0}^{4} \sqrt{u}\;du.(Troquei os limites e eliminei o sinal negativo.)

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{4} \sqrt{u}\;du.
  • Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2}. A integral é imediata: \int_{0}^{4} u^{1/2}\;du=\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{4} =\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{4} =\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}.
  • Portanto \frac{1}{2}\int_{0}^{4} \sqrt{u}\;du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} =\frac{1}{3}\,4^{3/2}.
  • Calcular 4^{3/2}: primeiro \sqrt{4}=2, e 2^{3}=8. Logo 4^{3/2}=8.
  • Assim a integral radial vale \int_{0}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\;dr = \frac{1}{3}\cdot 8 = \frac{8}{3}.

Passo 6

Substituir o resultado radial na expressão do volume.
  • Lembrando que V=8\pi\int_{0}^{2} r\sqrt{4-r^{2}}\;dr,então V=8\pi\cdot\frac{8}{3}=\frac{64\pi}{3}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida de coerência (curta e amigável).
  • O resultado é positivo e da ordem de magnitude esperada (é um volume finito e proporcional a \pi, o que faz sentido por simetria circular).
  • Intuitivamente: o elipsoide tem semieixos a=b=2 (em x,y se normalizarmos) e c=4 em z — mas note que estamos cortando pelo cilindro de raio 2, de modo que tomamos toda a “camada central” do elipsoide acima do disco de raio 2. O cálculo confirma esse volume como \dfrac{64\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{64\pi}{3}

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