Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro
quanto do elipsoide
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Dados do enunciado:
- A região está dentro do cilindro
.) - A região também está dentro do elipsoide
- Observação importante: do cilindro pegamos a restrição no plano
, ou seja, os pares que satisfazem
- A região está dentro do cilindro
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o volume do sólido que está simultaneamente dentro dos dois corpos dados.
-
Informações úteis extraídas do enunciado (já organizadas para usar depois):
- A projeção da região no plano
é o disco . - Para um ponto
com , a equação do elipsoide dá - Portanto, para cada
no disco de raio o varia entre
- A projeção da região no plano
Passo 2
Escolhendo coordenadas apropriadas e escrevendo o volume como integral tripla.
-
Ideia: o volume pode ser calculado integrando, sobre a região projeta no plano
, a altura em (diferença entre teto e piso). -
Para um ponto com
a altura é -
O elemento de área no plano
é Entretanto, como a projeção é um disco circular é muito mais simples usar coordenadas polares . Em polares: e o elemento de área transforma para(Explicação rápida do motivo: pequenos retângulos emviram retângulos com um lado e outro comprimento , daí a área .) -
Então o volume
é
Passo 3
Simplificar a integral antes de calcular.
- Factorizando dentro da raiz:
- Substituindo na integral:
- A integral em
é simples porque o integrando não depende de , então podemos separar: - Colocando o fator
fora:
Passo 4
Avaliar a integral radial
por substituição.
- Vamos usar a substituição padrão para raízes do tipo
. Defina Então - Mudar os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
- Quando
- Substituindo na integral:
(Troquei os limites e eliminei o sinal negativo.)
Passo 5
Calcular
.
- Lembrando que
. A integral é imediata: - Portanto
- Calcular
: primeiro , e . Logo . - Assim a integral radial vale
Passo 6
Substituir o resultado radial na expressão do volume.
- Lembrando que
então
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida de coerência (curta e amigável).
- O resultado é positivo e da ordem de magnitude esperada (é um volume finito e proporcional a
, o que faz sentido por simetria circular). - Intuitivamente: o elipsoide tem semieixos
(em se normalizarmos) e em — mas note que estamos cortando pelo cilindro de raio , de modo que tomamos toda a “camada central” do elipsoide acima do disco de raio . O cálculo confirma esse volume como .