(2,0) Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico z=y^{2}-x^{2} que está entre os cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado dá a superfície e a região onde queremos a área. Informação explícita (peguei tudo do enunciado):
  • A superfície é dada por z=y^{2}-x^{2}.
  • A parte da superfície considerada é a porção situada entre os cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=16, ou seja, sobre o anel do plano xy com 2\le r\le4 (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}).
O que se pede:
  • Determinar a área da parte da superfície z=y^{2}-x^{2} que está acima do anel no plano xy delimitado por x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=16.

Passo 2

Escolha da fórmula para área de superfície e explicação didática.
Quando uma superfície é o gráfico de uma função z=f(x,y), uma parametrização natural é \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)). O elemento de área da superfície é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores parciais:
\left|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\right|\,dx\,dy.
Calculando esse produto vetorial para \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)) obtém-se a fórmula conhecida:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\;dA,Á
onde D é a projeção da porção da superfície no plano xy, f_x é a derivada parcial de f em relação a x e f_y é a derivada parcial em relação a y. Em palavras: as inclinações da superfície (derivadas parciais) aumentam a área local por um fator \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Vamos aplicar essa fórmula com f(x,y)=y^2-x^2.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e simplificar o integrando.
  • Derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2})=-2x, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}-x^{2})=2y.
  • Substituindo na fórmula do elemento de área:
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+(-2x)^2+(2y)^2}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.
Observação: em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, tem-se x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo o integrando fica \sqrt{1+4r^{2}}. Como a projeção D é o anel entre r=2 e r=4, é natural usar coordenadas polares. Lembrete sobre a troca para polares: dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Montar a integral dupla em coordenadas polares.
Usando a fórmula e polares:
\text{Área}=\iint_{D}\sqrt{1+4r^{2}}\;dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=2}^{4}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.Á
Aqui a ordem de integração foi escolhida separando \theta (de 0 a 2\pi) e r (de 2 a 4). A integral em \theta é imediata e dá um fator 2\pi multiplicando a integral radial.

Passo 5

Calcular a integral radial passo a passo.
Precisamos calcular
\int_{r=2}^{4} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Faço a substituição u=1+4r^{2}. Então
du = 8r\,dr \quad\Rightarrow\quad r\,dr=\frac{du}{8}.
Transformando a integral:
\int_{r=2}^{4} r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr = \int_{u=1+4\cdot 2^{2}}^{\,1+4\cdot 4^{2}} \sqrt{u}\;\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{u=17}^{65} u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{8}\int_{17}^{65} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{17}^{65} = \frac{1}{12}\left(65^{3/2}-17^{3/2}\right).

Passo 6

Calcular a integral em \theta e obter a área final.
A integral em \theta de 0 a 2\pi multiplica o resultado radial:
\text{Área}= \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \frac{1}{12}\left(65^{3/2}-17^{3/2}\right) = 2\pi\cdot \frac{1}{12}\left(65^{3/2}-17^{3/2}\right).Á
Simplificando o fator 2\pi/12=\pi/6, obtemos a expressão exata:
\text{Área}=\frac{\pi}{6}\left(65^{3/2}-17^{3/2}\right).Á
Se desejar escrever de outra forma, 65^{3/2}=65\sqrt{65} e 17^{3/2}=17\sqrt{17}, então também se pode escrever
\text{Área}=\frac{\pi}{6}\bigl(65\sqrt{65}-17\sqrt{17}\bigr).Á

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(65^{3/2}-17^{3/2}\bigr)=\frac{\pi}{6}\bigl(65\sqrt{65}-17\sqrt{17}\bigr)

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