Determine a área da parte do paraboloide hiperbólico
que está entre os cilindros
e
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície e a região onde queremos a área. Informação explícita (peguei tudo do enunciado):
- A superfície é dada por
. - A parte da superfície considerada é a porção situada entre os cilindros
e , ou seja, sobre o anel do plano com (onde ).
O que se pede:
- Determinar a área da parte da superfície
que está acima do anel no plano delimitado por e .
Passo 2
Escolha da fórmula para área de superfície e explicação didática.
Quando uma superfície é o gráfico de uma função
, uma parametrização natural é
. O elemento de área da superfície é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores parciais:
Calculando esse produto vetorial para
obtém-se a fórmula conhecida:
onde
é a projeção da porção da superfície no plano
,
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial em relação a
. Em palavras: as inclinações da superfície (derivadas parciais) aumentam a área local por um fator
.
Vamos aplicar essa fórmula com
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e simplificar o integrando.
- Derivadas parciais:
- Substituindo na fórmula do elemento de área:
Observação: em coordenadas polares
, tem-se
, logo o integrando fica
. Como a projeção
é o anel entre
e
, é natural usar coordenadas polares. Lembrete sobre a troca para polares:
.
Passo 4
Montar a integral dupla em coordenadas polares.
Usando a fórmula e polares:
Aqui a ordem de integração foi escolhida separando
(de
a
) e
(de
a
). A integral em
é imediata e dá um fator
multiplicando a integral radial.
Passo 5
Calcular a integral radial passo a passo.
Precisamos calcular
Faço a substituição
. Então
Transformando a integral:
Integrando
:
Portanto
Passo 6
Calcular a integral em
e obter a área final.
A integral em
de
a
multiplica o resultado radial:
Simplificando o fator
, obtemos a expressão exata:
Se desejar escrever de outra forma,
e
, então também se pode escrever