Calcule cada um dos limites
lim t infty t ln t(t+2)^2

Passo 1

O enunciado pede
limttoinftytln t(t+2)^2
Aqui estamos tratando de limites no infinito de uma razão de funções que crescem sem limites, ou seja, temos o tipo tfracinftyinfty. Para resolver, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou comparar ordens de grandeza (polinômio versus logaritmo).

Passo 2

Verificamos que
limttoinftytln t=infty
e
limttoinfty(t+2)^2=infty,
logo realmente temos forma indeterminada tfracinftyinfty e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador separadamente.

Passo 3

Derivando numerador e denominador em relação a t:
– Numerador:
ddtl(tln tr)=ln t +1
– Denominador:
ddtl((t+2)^2r)=2(t+2)
Portanto, pela Regra de L’Hôpital, o limite original é igual a
limttoinftyln t +12(t+2)

Passo 4

Para ttoinfty, o numerador ln t +1 cresce muito mais devagar que o denominador 2(t+2) (que é de ordem t). Logo
limttoinftyln t +12(t+2)=0

Resposta

0

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