Considere o sistema chaveado , com as matrizes a seguir
a) Quais são os valores possíveis (ou intervalos de valores) para bartheta tais que sumi=1^2 barthetai Ai seja Hurwitz estável?
b) Projete uma lei de chaveamento do tipo
sigma(x(t))=arg max i in mathscrMvi(x(t))
c) Simule o sistema chaveado para uma condição inicial x(0)=[1-1]^prime.
d) Plote as funções v1 e v2 em um mesmo gráfico.
e) Plote o sinal de chaveamento.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema chaveado
dot x(t)=Asigma(t),x(t), sigma(t)in1,2,
com
A1=0 & 1-2 & 1, A2=0 & 11 & -2,
e pede: (a) achar o conjunto de pesos bartheta=(bartheta1,bartheta2) (com barthetai>=0, bartheta1+bartheta2=1) tais que bar A=bartheta1A1+bartheta2A2 seja Hurwitz; (b) projetar uma lei de chaveamento sigma(x)=argmaxiin1,2vi(x); (c) simular o sistema com x(0)=[1;-1]'; (d) plotar v1 e v2; (e) plotar o sinal sigma(t).
Para resolver vamos usar (i) teste de Hurwitz em 2times 2 para mistura convexa, (ii) solução da equação de Lyapunov bar A^top P+Pbar A=-I para achar P, (iii) definir dot V(x;Ai)=x^top(Ai^top P+P Ai)x e vi(x)=-dot V(x;Ai), (iv) implementar Euler/Runge–Kutta para simular e (v) gerar os gráficos.
Passo 2
(a) Estabilidade da combinação convexa.
Escrevendo bartheta1=theta, bartheta2=1-theta,
bar A(theta) =theta A1+(1-theta)A2 =0 & 11-3theta & 3theta-2
O polinômio característico é
s^2-(3theta-2)s+(3theta-1)=0
Pelas condições de Hurwitz em 2times 2 (traço <0 e determinante >0):
3theta-2<0Longrightarrowtheta<tfrac23,
3theta-1>0Longrightarrowtheta>tfrac13
Logo a mistura é Hurwitz estável se
tfrac13<bartheta1<tfrac23, bartheta2=1-bartheta1
Passo 3
(b) Projeto da lei de chaveamento por Lyapunov comum dirigido.
Escolho para concretizar , assim
que é Hurwitz. Resolvo então
com . A solução é
que é positiva definida. Defino para cada subsistema
e a lei de chaveamento
ou seja, escolho em cada instante o modo que mais faz decair .
Passo 4
(c) Simulação numérica. 1. Defino grade de tempo t in [0,T] com passo De<a t (e.g.\ De<a t=10^-3). 2. Inicializo x(0) = [1;-1]. 3. Para cada passo k:
computo sigmak = sigma(xk),
avalio dotxk = Asigmak cdot xk,
e atualizo xk+1 = xk + De<a t cdot dotxk (ou RK4). 4. Registro x(t) até T.
Espera-se que x(t) to 0 exponencialmente, pois o Lyapunov diminui sempre.
Passo 5
(d) e (e) Gráficos de vi e sinal de chaveamento.
Em cada instante computo v1(x(t)) e v2(x(t)).
Ploto no mesmo eixo temporal as curvas v1(t), v2(t) — ambas positivas e oscilando para escolher o subsistema.
Em outro gráfico ploto sigma(t)in1,2 como um traço escalonado, mostrando as trocas de modo.
Resposta
(a) Os pesos convexos (bartheta1,bartheta2) devem satisfazer
tfrac13<bartheta1<tfrac23, bartheta2=1-bartheta1,
para que bartheta1A1+bartheta2A2 seja Hurwitz.
(b) Escolhendo bartheta1=bartheta2=0.5, resolve-se bar A^top P+Pbar A=-I com P=l[2&11&3r],
e define-se dot V(x;Ai)=x^top(Ai^top P+PAi)x, ;vi(x)=-dot V(x;Ai),
sigma(x)=argmaxiin1,2vi(x)
(c) Na simulação com x(0)=[1;-1]', x(t) converge a zero exponencialmente.
(d) Os gráficos de v1(t) e v2(t) mostram duas curvas positivas que se cruzam conforme x(t) evolui.
(e) O sinal sigma(t) é um traço escalonado em 1,2, trocando rapidamente para garantir dot V<0 o tempo todo.