Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
- Qual a solução geral dessa EDO ?
- A solução nula é solução dessa EDO?
- O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
- Existe solução única? Qual é?
Passo 1
O enunciado apresenta o PVI
Este é um problema de EDO exata (ou tratada por fator integrante). Vamos buscar a solução geral implícita, verificar a solução nula e checar o teorema de existência e unicidade.
Passo 2
Identificamos
Como
a equação não é exata. Procuramos um fator integrante
tal que
Integramos e achamos
.
Passo 3
Multiplicando por
fica exata:
Então existe
com
,
. Integrando
Da condição
vem
, logo
. A solução geral é
Passo 4
A solução nula
faz
logo é solução da EDO, mas não satisfaz
.
Passo 5
Colocando em forma normal
vemos que
e
são contínuas perto de
e o denominador em
é
. Logo o teorema de existência e unicidade vale.
Passo 6
Pelo teorema há solução única do PVI, obtida impondo
na constante:
A solução particular é dada implicitamente por
Resposta
- Solução geral:
. - A solução nula
satisfaz a EDO, mas não o PVI ( ). - O PVI satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade (função e derivada em
contínuas e denominador não nulo em ). - Existe solução única do PVI, dada por