Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=l -(2 x y^2+y^3) d x+(y^3+2 x^2 y+x y^2) d y=0 y(0)=1
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução nula é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?
  • Existe solução única? Qual é?

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI
-l(2xy^2+y^3r),dx+l(y^3+2x^2y+xy^2r),dy=0, y(0)=1
Este é um problema de EDO exata (ou tratada por fator integrante). Vamos buscar a solução geral implícita, verificar a solução nula e checar o teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=-l(2xy^2+y^3r), N(x,y)=y^3+2x^2y+xy^2
Como
partial Mpartial y =-4xy-3y^2, partial Npartial x =4xy+y^2,
a equação não é exata. Procuramos um fator integrante mu(y) tal que
1mudmudy =Nx-MyM =-4y
Integramos e achamos mu(y)=y^-4.

Passo 3

Multiplicando por y^-4 fica exata:
M^*=-l(2xy^2+1yr), N^*=1y+2x^2y^3+xy^2
Então existe Psi(x,y) com Psix=M^*, Psiy=N^*. Integrando
Psi(x,y) =integrall(-2xy^2-1yr)dx =-x^2y^2-xy+h(y)
Da condição Psiy=N^* vem h'(y)=1/y, logo h(y)=ln|y|. A solução geral é
-x^2y^2-xy+ln|y|=C

Passo 4

A solução nula y(x)equiv0 faz
M(x,0),dx+N(x,0),dy=0,dx+0,dy=0,
logo é solução da EDO, mas não satisfaz y(0)=1.

Passo 5

Colocando em forma normal
y'=2xy^2+y^3y^3+2x^2y+xy^2 =y(2x+y)y^2+xy+2x^2
vemos que f(x,y) e partial f/partial y são contínuas perto de (0,1) e o denominador em (0,1) é 1neq0. Logo o teorema de existência e unicidade vale.

Passo 6

Pelo teorema há solução única do PVI, obtida impondo y(0)=1 na constante:
-0^21^2-01+ln1=0;Longrightarrow;C=0
A solução particular é dada implicitamente por
-x^2y^2-xy+ln y=0

Resposta

  • Solução geral: -x^2y^2-xy+ln|y|=C.
  • A solução nula yequiv0 satisfaz a EDO, mas não o PVI ( y(0)=1).
  • O PVI satisfaz as hipóteses do teorema de existência e unicidade (função e derivada em y contínuas e denominador não nulo em (0,1)).
  • Existe solução única do PVI, dada por -x^2y^2-xy+ln y=0

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