Calcule o campo elétrico de um cilindro infinito carregado uniformemente com densidade de carga linear? Qual é a expressão para o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente achar o campo elétrico de um cilindro infinito carregado com densidade de carga linear λ. Esse assunto é de eletrostática e, em particular, vamos usar a Lei de Gauss. Para resolver, você precisa saber o que é a Lei de Gauss, como escolher uma superfície gaussiana e como calcular fluxo de campo elétrico.

Passo 2

Lei de Gauss na eletrostática diz que
oint S vec Ecdot dvec A ;=;Qintvarepsilon0
onde o lado esquerdo é o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada 𝒮, e é a carga total envolvida por essa superfície. A constante é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o cilindro (ou fio) é infinito e tem simetria cilíndrica, a gente escolhe como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio (a distância onde queremos o campo) e comprimento .
– Na lateral desse cilindro gaussiano, é perpendicular à superfície e tem o mesmo módulo em todo ponto.
– Nas tampas (base e topo), é paralelo à superfície (pois o campo sai radialmente), então não contribui para o fluxo.

Passo 4

  1. Fluxo pela lateral:
Phi = oint vec Ecdot dvec A ;=; E(r)times(área lateral) ;=;E(r)times(2pi r L) á
  1. Carga interna: dentro do nosso cilindro gaussiano está toda a carga λ por unidade de comprimento, espalhada ao longo de Qint = lambda,L . Logo
E(r),2pi r L ;=;lambda Lvarepsilon0
  1. Substituindo na Lei de Gauss:

Passo 5

Isolando E(r) =lambda Lvarepsilon0,2pi r L =lambda2pivarepsilon0,r :
vec E(r) =lambda2pivarepsilon0,r,hat r
O vetor campo aponta radialmente para fora (se ) ou para dentro (se ), portanto

Resposta

boxedvec E(r)=lambda2pivarepsilon0,r,hat r
Esta é a expressão do campo elétrico a uma distância do eixo de um cilindro (fio) infinito com densidade de carga linear .

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