Calcule o campo elétrico de uma esfera uniformemente carregada com carga total +Q ? Encontre a expressão para o campo elétrico nas seguintes regiões: Dentro da esfera (
),Fora da esfera (
), onde R é o raio da esfera.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre campo elétrico de uma esfera uniformemente carregada com carga total $ +Q
r < R
r > R $), onde $ R $ é o raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria específica. A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
- $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
- $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície gaussiana.
- $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio $ r $. A escolha dessa superfície é por causa da simetria esférica do problema, que simplifica os cálculos.
Passo 4
Para $ r > R $ (fora da esfera):
Todas as cargas $ +Q $ estão dentro da superfície gaussiana. Então, $ Q_{enc} = Q $.
A área da superfície gaussiana é $ 4\pi r^2 $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Passo 5
Para $ r < R $ (dentro da esfera):
A carga está distribuída uniformemente na esfera. A densidade de carga $ \rho $ é:
A carga dentro da superfície gaussiana é proporcional ao volume:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Resposta
O campo elétrico da esfera uniformemente carregada é dado por: