Calcule o campo elétrico de uma esfera uniformemente carregada com carga total +Q ? Encontre a expressão para o campo elétrico nas seguintes regiões: Dentro da esfera ( r ),Fora da esfera ( r>R ), onde R é o raio da esfera.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre campo elétrico de uma esfera uniformemente carregada com carga total $ +Q +Q ééãéõ r < R r < R r > R $), onde $ R $ é o raio da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria específica. A Lei de Gauss é dada por:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico.
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície gaussiana.
  • $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio $ r $. A escolha dessa superfície é por causa da simetria esférica do problema, que simplifica os cálculos.

Passo 4

Para $ r > R $ (fora da esfera):
Todas as cargas $ +Q $ estão dentro da superfície gaussiana. Então, $ Q_{enc} = Q $.
A área da superfície gaussiana é $ 4\pi r^2 $.
Aplicando a Lei de Gauss:
r > R
Isolando $ E $:
+Q

Passo 5

Para $ r < R $ (dentro da esfera):
A carga está distribuída uniformemente na esfera. A densidade de carga $ \rho $ é:
r < R
A carga dentro da superfície gaussiana é proporcional ao volume:
rho
Aplicando a Lei de Gauss:
rho = Q43pi R^3
Isolando $ E $:
Qenc = rho cdot 43pi r^3 = Q cdot ( r^3R^3 )

Resposta

O campo elétrico da esfera uniformemente carregada é dado por:
E(r) = Q r4pi varepsilon0 R^3 & para r < R Q4pi varepsilon0 r^2 & para r > R

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