Calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas P(2,2,2) devido à uma carga pontual q_{1}=1 \mu C localizada no ponto de coordenadas P_{1}(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico no ponto P(2,2,2) devido a uma carga pontual q_{1}=1\\ \mu\mathrm{C} localizada em P_{1}(0,0,0).
Informações dadas (resumidas):
q_{1}=1\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
P=(2,2,2),\quad P_{1}=(0,0,0).
A tarefa é encontrar \mathbf{E} no ponto P produzido por essa carga.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb na forma vetorial (a fórmula que precisamos usar):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{2}}\;\hat{\mathbf{r}},
ou, de forma equivalente e muitas vezes mais prática,
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{3}}.
Explicação das quantidades:
  • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto onde queremos o campo (aqui \mathbf{r}=(2,2,2)).
  • \mathbf{r}_q é a posição da carga (aqui \mathbf{r}_q=(0,0,0)).
  • q é a carga (aqui 1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo; numericamente \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Em notação usual \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante k\approx8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário que aponta de \mathbf{r}_q para \mathbf{r}.
Vou usar a forma com (\mathbf{r}-\mathbf{r}_q)/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{3} porque facilita o cálculo direto dos componentes.

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento entre a carga e o ponto P:
\mathbf{r}-\mathbf{r}_q = (2,2,2)-(0,0,0)=(2,2,2).
Agora o módulo desse vetor:
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Mostrei cada termo: somamos os quadrados das componentes e tiramos a raiz quadrada.

Passo 4

Calcular o vetor unitário \hat{\mathbf{r}}:
\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|} =\frac{(2,2,2)}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Isto significa que a direção do campo é ao longo do vetor (1,1,1) (saindo da carga, pois a carga é positiva).

Passo 5

Aplicar a fórmula de Coulomb. Usando a forma
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{2}}\;\hat{\mathbf{r}},
substituímos |\mathbf{r}-\mathbf{r}_q|^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12 e \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1). Assim
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{12}\;\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{12\sqrt{3}}\;(1,1,1).
Esta é a forma exata simbólica. Agora vamos calcular numericamente.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo:
Constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Carga q=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Calcular o fator escalar:
\frac{k\,q}{12\sqrt{3}} = \frac{8{,}9875517923\times10^{9}\times 1\times10^{-6}}{12\sqrt{3}} = \frac{8{,}987{,}551{,}792{,}3}{12\sqrt{3}}\times10^{0}.
Primeiro kq=8{,}987{,}551{,}792{,}3\times10^{3}=8987{,}5517923.
Dividindo por 12 obtemos aproximadamente 748{,}962649358.
Dividindo por \sqrt{3}\approx1{,}7320508076 obtemos o valor para cada componente:
E_{\text{cada componente}}\approx 432{,}414\\ \mathrm{N/C}.
Portanto o vetor campo é
\mathbf{E}(2,2,2)\approx(432{,}414,\;432{,}414,\;432{,}414)\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei cada componente para três casas significativas após a vírgula.)

Passo 7

Interpretação física rápida: como a carga é positiva, o campo elétrico aponta radialmente para fora do ponto origem, na direção do vetor (1,1,1). O módulo do campo em P é aproximadamente \sqrt{3}\times432{,}414 \approx 748{,}963\\ \mathrm{N/C}, que coincide com kq/r^{2} conforme esperado.

Resposta

\mathbf{E}(2,2,2)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q}{12\sqrt{3}}\;(1,1,1)\approx(432{,}414,\;432{,}414,\;432{,}414)\\ \mathrm{N/C}.

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