Se a carga q_{3} é deslocada para o ponto de coordenadas P_{3}(0,2,0). Determine a força eletrostática na carga q_{3}, devido a presença das cargas q_{1} \mathrm{e} q_{2}, se:
a) q_{1}=q_{2}=q_{3}=1 \mu C

Passo 1

O enunciado diz que a carga q_{3} foi deslocada para o ponto de coordenadas P_{3}(0,2,0) e pede a força eletrostática sobre q_{3} devido às cargas q_{1} e q_{2}. A parte (a) especifica que q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\,\mu\mathrm{C}.
Informações dadas:
\text{Posição de }q_{3}:\\ \vec r_{3}=(0,2,0)çã
\text{Valores das cargas (caso a): }q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\,\mu\mathrm{C}
Informações que faltam e que são essenciais para obter um valor numérico:
  • As coordenadas/posições de q_{1} e q_{2} (por exemplo \vec r_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \vec r_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})). Sem essas posições não é possível calcular numericamente a força sobre q_{3}.
  • (Opcional) o meio (constante dielétrica) — se não informado, assumimos vácuo, i.e. constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
Conclusão do passo: não há dados suficientes para um valor numérico final porque faltam as posições de q_{1} e q_{2}. A partir daqui eu explico passo a passo como se resolve o problema assim que essas posições forem conhecidas, e apresento a expressão geral.

Passo 2

Princípio básico que vamos usar (explicação didática): a lei que dá a força entre duas cargas puntiformes. Quando uma carga q está no ponto de posição \vec r e outra carga Q está em \vec R, a força sobre q exercida por Q é dada por uma fórmula vetorial. Essa fórmula envolve:
  • Uma constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (no vácuo k\approx 8{,}9875\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}});
  • O produto das cargas qQ;
  • O vetor que vai da carga que exercem a força até a carga que sofre a força (para apontar a direção correta);
  • Módulo do vetor relativo elevado ao cubo, para obter a dependência em 1/r^{2} junto com a direção.
A forma vetorial é (uma aula curta sobre cada símbolo virá abaixo):
\vec F_{q\leftarrow Q}=k\,qQ\frac{\vec r - \vec R}{|\vec r - \vec R|^{3}}.
Explicando os símbolos:
  • \vec F_{q\leftarrow Q} é a força sobre a carga q devido à carga Q.
  • \vec r é o vetor posição da carga q.
  • \vec R é o vetor posição da carga Q.
  • \vec r - \vec R é o vetor que aponta de Q para q.
  • |\vec r - \vec R| é o comprimento (módulo) desse vetor; como a força escala com 1/r^{2} e queremos um vetor, usamos |\vec r - \vec R|^{3} no denominador de forma que o resultado seja um vetor proporcional à unidade vetorial (\vec r - \vec R)/|\vec r - \vec R| com magnitude k|qQ|/|\vec r - \vec R|^{2}.
  • O sinal da interação (repulsão ou atração) vem do sinal do produto qQ: cargas de mesmo sinal se repelem, de sinais opostos se atraem.

Passo 3

Princípio da superposição (explicado): quando há várias cargas, a força total sobre uma dada carga é a soma vetorial das forças causadas por cada carga individualmente. Não somamos módulos: somamos vetores componentes por componentes, porque direções podem cancelar ou somar.
No nosso caso, a força total sobre q_{3} devido a q_{1} e q_{2} é
\vec F_{3}=\vec F_{3\leftarrow1}+\vec F_{3\leftarrow2}.

Passo 4

Escrevendo as expressões vetoriais usando as posições gerais das outras cargas. Definimos:
\vec r_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\qquad \vec r_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\qquad \vec r_{3}=(0,2,0).
Vetores que apontam de q_{1} e q_{2} para q_{3}:
\vec r_{31}=\vec r_{3}-\vec r_{1}=(0-x_{1},\;2-y_{1},\;0-z_{1}),
\vec r_{32}=\vec r_{3}-\vec r_{2}=(0-x_{2},\;2-y_{2},\;0-z_{2}).
As forças individuais, segundo a fórmula do passo 2, são:
\vec F_{3\leftarrow1}=k\,q_{3}q_{1}\frac{\vec r_{31}}{|\vec r_{31}|^{3}}, \qquad \vec F_{3\leftarrow2}=k\,q_{3}q_{2}\frac{\vec r_{32}}{|\vec r_{32}|^{3}}.
Portanto a força total é
\boxed{\displaystyle \vec F_{3}=k\left(q_{3}q_{1}\frac{\vec r_{31}}{|\vec r_{31}|^{3}}+q_{3}q_{2}\frac{\vec r_{32}}{|\vec r_{32}|^{3}}\right).}
Aqui, para obter um resultado numérico temos de substituir \vec r_{1} e \vec r_{2} (que não foram dadas no enunciado) e calcular componente a componente.

Passo 5

Agora aplicando a condição da parte (a): q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\,\mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\,\mathrm{C}.
Multiplicando q_{3}q_{1}=q_{3}q_{2}=(1\times10^{-6})(1\times10^{-6})=1\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}}. Substituindo na expressão temos a forma simplificada:
\boxed{\displaystyle \vec F_{3}=k\cdot 10^{-12}\!\left(\frac{\vec r_{31}}{|\vec r_{31}|^{3}}+\frac{\vec r_{32}}{|\vec r_{32}|^{3}}\right).}
Isto é a resposta simbólica final para a parte (a): a força sobre q_{3} em termos das posições \vec r_{1} e \vec r_{2}. Para obter números (componentes F_{x},F_{y},F_{z}) você precisa dar \vec r_{1} e \vec r_{2}; depois o procedimento é:
  1. Calcular \vec r_{31} e \vec r_{32} (subtração componente a componente).
  2. Calcular os módulos |\vec r_{31}| e |\vec r_{32}| usando |(a,b,c)|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
  3. Elevar ao cubo os módulos e dividir cada vetor pela respectiva magnitude ao cubo.
  4. Somar as duas parcelas vetoriais e multiplicar por k\cdot10^{-12}.
  5. Se quiser, use k\approx 8{,}9875\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} para obter Newtons.

Passo 6

Exemplo prático (apenas para fixar a técnica — não resolve o enunciado original porque inventei posições só para ilustrar):
  • Suponha hipoteticamente \vec r_{1}=(0,0,0) e \vec r_{2}=(2,0,0). Então:
\vec r_{31}=(0,2,0)-(0,0,0)=(0,2,0),\qquad |\vec r_{31}|=2,
\vec r_{32}=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0),\qquad |\vec r_{32}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Aplicando a fórmula com k\cdot10^{-12}:
\vec F_{3}=k\cdot10^{-12}\left(\frac{(0,2,0)}{2^{3}}+\frac{(-2,2,0)}{(2\sqrt{2})^{3}}\right).
Você seguiria calculando os denominadores 2^{3}=8 e (2\sqrt{2})^{3}=16\sqrt{2}, reduzir componentes, multiplicar por k\cdot10^{-12} e obter componentes numéricas em newtons. Esse exemplo ilustra exatamente os passos a fazer quando as posições são conhecidas.

Passo 7

Resumo prático e encorajamento: você já tem a fórmula pronta e o passo a passo para aplicar — só falta fornecer as coordenadas de \vec r_{1} e \vec r_{2}. Se quiser, me mande as posições de q_{1} e q_{2} (ou uma figura) e eu aplico esses passos e te mostro o cálculo inteiro, componente por componente, e aviso se a força é resultante para cima/baixo/esquerda/direita. Vai dar certo — você já entendeu a técnica!

Resposta

Não é possível determinar numericamente a força sobre q_{3}: faltam as coordenadas de \vec r_{1} e \vec r_{2}.\n
Em termos das posições gerais \vec r_{1},\vec r_{2} a força sobre q_{3} (para q_{1}=q_{2}=q_{3}=1\,\mu\mathrm{C}) é
\displaystyle \vec F_{3}=k\cdot 10^{-12}\!\left(\frac{\vec r_{3}-\vec r_{1}}{|\vec r_{3}-\vec r_{1}|^{3}}+\frac{\vec r_{3}-\vec r_{2}}{|\vec r_{3}-\vec r_{2}|^{3}}\right),
com \vec r_{3}=(0,2,0) e k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}9875\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

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