Calcule o campo magnético produzido por uma corrente superficial que flui sobre o plano
com densidade
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo magnético gerado por uma corrente superficial que flui no plano
com densidade de corrente
. Aqui, estamos lidando com Eletromagnetismo, mais especificamente com o estudo de campos magnéticos produzidos por correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente que o gera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Essa lei nos diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo
multiplicada pela corrente total que atravessa a superfície delimitada por esse caminho. Em fórmula:
Isso nos ajuda a relacionar a corrente elétrica com o campo magnético que ela produz.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um caminho fechado (chamado de trajetória de Ampère) que facilite os cálculos. Como a corrente está distribuída no plano
e flui na direção
, o campo magnético provavelmente terá simetria em torno do plano
. Vamos escolher um retângulo como trajetória, com dois lados paralelos ao plano
: um acima e outro abaixo do plano onde a corrente está. Os outros dois lados serão perpendiculares ao plano.
Passo 4
Com essa escolha, observamos que o campo magnético
será perpendicular aos lados paralelos ao plano
e terá a mesma magnitude acima e abaixo do plano, mas em direções opostas devido à simetria. Assim, a integral da Lei de Ampère se simplifica para:
Onde
é o comprimento dos lados paralelos ao plano. Simplificando, vemos que apenas os campos acima e abaixo contribuem para a circulação.
Passo 5
A corrente total que atravessa a superfície delimitada pela trajetória de Ampère é a densidade de corrente
multiplicada pela largura
do retângulo:
Substituindo na Lei de Ampère:
Como
, podemos simplificar:
Isso nos dá a magnitude do campo magnético acima e abaixo do plano, com direções opostas.
Resposta
O campo magnético produzido pela corrente superficial é:
Ou seja, acima do plano o campo aponta na direção positiva de
, e abaixo do plano na direção negativa de
, com intensidade
.