Calcule o campo magnético produzido por uma corrente superficial que flui sobre o plano xy com densidade K=K x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o campo magnético gerado por uma corrente superficial que flui no plano xy com densidade de corrente K = K x. Aqui, estamos lidando com Eletromagnetismo, mais especificamente com o estudo de campos magnéticos produzidos por correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente que o gera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Ampère. Essa lei nos diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual à permeabilidade do vácuo mu0 multiplicada pela corrente total que atravessa a superfície delimitada por esse caminho. Em fórmula:
oint B cdot dl = mu0 Itotal
Isso nos ajuda a relacionar a corrente elétrica com o campo magnético que ela produz.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um caminho fechado (chamado de trajetória de Ampère) que facilite os cálculos. Como a corrente está distribuída no plano xy e flui na direção x, o campo magnético provavelmente terá simetria em torno do plano xy. Vamos escolher um retângulo como trajetória, com dois lados paralelos ao plano xy: um acima e outro abaixo do plano onde a corrente está. Os outros dois lados serão perpendiculares ao plano.

Passo 4

Com essa escolha, observamos que o campo magnético B será perpendicular aos lados paralelos ao plano xy e terá a mesma magnitude acima e abaixo do plano, mas em direções opostas devido à simetria. Assim, a integral da Lei de Ampère se simplifica para:
B cdot L + (-B) cdot L = mu0 Itotal
Onde L é o comprimento dos lados paralelos ao plano. Simplificando, vemos que apenas os campos acima e abaixo contribuem para a circulação.

Passo 5

A corrente total que atravessa a superfície delimitada pela trajetória de Ampère é a densidade de corrente K multiplicada pela largura W do retângulo:
Itotal = K cdot W
Substituindo na Lei de Ampère:
2B cdot L = mu0 K W
Como L = W, podemos simplificar:
2B = mu0 K B = mu0 K2
Isso nos dá a magnitude do campo magnético acima e abaixo do plano, com direções opostas.

Resposta

O campo magnético produzido pela corrente superficial é:
B = mu0 K2 y, & acima do plano xy -mu0 K2 y, & abaixo do plano xy
Ou seja, acima do plano o campo aponta na direção positiva de y, e abaixo do plano na direção negativa de y, com intensidade mu0 K2.

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