Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,0) e outra carga de mesmo valor, porém positiva, está na posição (
).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto (
).
b) se
, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste
colocada na na posição (
)?
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto (
b) se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo elétrico resultante de duas cargas em um ponto específico e depois calcular a força sobre uma carga de teste. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Coulomb e superposição de campos elétricos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico. Temos:
- Uma carga negativa $ q $ na posição $ (a, 0, 0) $.
- Uma carga positiva $ q $ na posição $ (-a, 0, -a) $.
- Queremos encontrar o campo elétrico no ponto $ (0, a, 0) $.
Vamos chamar as cargas de $ q_1 = -q $ e $ q_2 = q $.
Passo 3
Vamos usar a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto $ P = (0, a, 0) $. A fórmula da Lei de Coulomb para o campo elétrico é:
onde:
- $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
- $ q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto $ P $,
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico devido à carga $ q_1 = -q $ na posição $ (a, 0, 0) $. Primeiramente, encontramos o vetor posição da carga em relação ao ponto $ P $:
A distância $ r_1 $ é:
O vetor unitário $ \hat{r}_1 $ é:
Então, o campo elétrico devido a $ q_1 $ é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga $ q_2 = q $ na posição $ (-a, 0, -a) $. Calculamos o vetor posição:
A distância $ r_2 $ é:
O vetor unitário $ \hat{r}_2 $ é:
Então, o campo elétrico devido a $ q_2 $ é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos somar os campos elétricos $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{E}_2 $ para encontrar o campo elétrico total no ponto $ P $:
Para somar esses vetores, precisamos calcular cada componente:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 7
Podemos deixar o campo elétrico total assim, ou simplificar combinando os termos. Para fins de clareza, vamos expressar o campo total como a soma das componentes calculadas:
Passo 8
Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a força resultante sobre uma carga de teste $ q_0 = 2,00 , nC $ posicionada em $ (0, 1,00 , m, 0) $.
A força elétrica $ \vec{F} $ sobre uma carga de teste é dada por:
Passo 9
Vamos substituir os valores na expressão:
Dado que $ q = 5,00 , nC = 5,00 \times 10^{-9} , C $, $ q_0 = 2,00 , nC = 2,00 \times 10^{-9} , C $, e supondo que $ a = 1,00 , m $:
Passo 10
Calculando cada termo:
- Componente x:
- Componente y:
- Componente z:
Passo 11
Agora, multiplicamos cada componente do campo elétrico pelo $ q_0 = 2,00 \times 10^{-9} , C $:
Resposta
O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste $ q_{0} = 2,00 , nC $ na posição $ (0, 1,00 , m, 0) $ é aproximadamente: