Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,0) e outra carga de mesmo valor, porém positiva, está na posição ( -a, 0,-a ).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas no ponto ( 0, a, 0 ).
b) se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=2,00 nC colocada na na posição ( 0,1,00 m, 0 )?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo elétrico resultante de duas cargas em um ponto específico e depois calcular a força sobre uma carga de teste. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Lei de Coulomb e superposição de campos elétricos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo elétrico. Temos:
  • Uma carga negativa $ q $ na posição $ (a, 0, 0) $.
  • Uma carga positiva $ q $ na posição $ (-a, 0, -a) $.
  • Queremos encontrar o campo elétrico no ponto $ (0, a, 0) $.
Vamos chamar as cargas de $ q_1 = -q $ e $ q_2 = q $.

Passo 3

Vamos usar a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto $ P = (0, a, 0) $. A fórmula da Lei de Coulomb para o campo elétrico é:
P = (0, a, 0)
onde:
  • $ k_e $ é a constante eletrostática ($ 8,99 \times 10^9 , N·m²/C² $),
  • $ q $ é a carga,
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto $ P $,
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido à carga $ q_1 = -q $ na posição $ (a, 0, 0) $. Primeiramente, encontramos o vetor posição da carga em relação ao ponto $ P $:
q1 = -q
A distância $ r_1 $ é:
(a, 0, 0)
O vetor unitário $ \hat{r}_1 $ é:
P
Então, o campo elétrico devido a $ q_1 $ é:
r1 = P - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)
Simplificando:
r1

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga $ q_2 = q $ na posição $ (-a, 0, -a) $. Calculamos o vetor posição:
q2 = q
A distância $ r_2 $ é:
(-a, 0, -a)
O vetor unitário $ \hat{r}_2 $ é:
r2 = P - (-a, 0, -a) = (a, a, a)
Então, o campo elétrico devido a $ q_2 $ é:
r2
Simplificando:
r2 = raiza^2 + a^2 + a^2 = raiz3a^2 = araiz3

Passo 6

Agora, vamos somar os campos elétricos $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{E}_2 $ para encontrar o campo elétrico total no ponto $ P $:
E1
Para somar esses vetores, precisamos calcular cada componente:
  • Componente x:
E2
  • Componente y:
P
  • Componente z:
Etotal = E1 + E2 = ke q2a^2 (1raiz2, -1raiz2, 0) + ke q3a^2 (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Passo 7

Podemos deixar o campo elétrico total assim, ou simplificar combinando os termos. Para fins de clareza, vamos expressar o campo total como a soma das componentes calculadas:
Etotal = ( ke q2a^2 raiz2 + ke q3a^2 raiz3 ) i + ( -ke q2a^2 raiz2 + ke q3a^2 raiz3 ) j + ( ke q3a^2 raiz3 ) k

Passo 8

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a força resultante sobre uma carga de teste $ q_0 = 2,00 , nC $ posicionada em $ (0, 1,00 , m, 0) $.
A força elétrica $ \vec{F} $ sobre uma carga de teste é dada por:
q0 = 2,00 , nC

Passo 9

Vamos substituir os valores na expressão:
Dado que $ q = 5,00 , nC = 5,00 \times 10^{-9} , C $, $ q_0 = 2,00 , nC = 2,00 \times 10^{-9} , C $, e supondo que $ a = 1,00 , m $:
q = 5,00 , nC = 5,00 times 10^-9 , C

Passo 10

Calculando cada termo:
  • Componente x:
8,99 times 10^9 times 5,00 times 10^-92 times raiz2 + 8,99 times 10^9 times 5,00 times 10^-93 times raiz3 approx 44,952,828 + 44,955,196 approx 15,86 + 8,66 approx 24,52 , N/C
  • Componente y:
-44,952,828 + 44,955,196 approx -15,86 + 8,66 approx -7,20 , N/C
  • Componente z:
44,955,196 approx 8,66 , N/C

Passo 11

Agora, multiplicamos cada componente do campo elétrico pelo $ q_0 = 2,00 \times 10^{-9} , C $:
q0 = 2,00 times 10^-9 , C

Resposta

O vetor força resultante que atua sobre a carga de teste $ q_{0} = 2,00 , nC $ na posição $ (0, 1,00 , m, 0) $ é aproximadamente:
q0 = 2,00 , nC

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