4- Calcule a capacitância de um capacitor acoplado a um sinal retificado de onda completa, cuja tensão média sem a presença do mesmo é de 15 V , para uma corrente média na carga de 250 mA e o ripple máximo pico a pico desejado de 3 V . Qual o valor médio da tensão na carga após a presença do capacitor? Considere a frequência da rede de 60 Hz .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar bem claro o que é pedido e o que foi dado):
  • Tensão média do sinal retificado (sem capacitor): 15\\ \text{V}.
  • Corrente média na carga: I_{\text{carga}} = 0,25\\ \text{A}.
  • Ripple máximo pico a pico desejado: \Delta V_{pp}=3\\ \text{V}.
  • Frequência da rede: f_{\text{rede}}=60\\ \text{Hz}.
  • O retificador é de onda completa (full-wave).
O que é pedido:
  1. Calcular a capacitância C necessária para que o ripple pico a pico seja 3\\ \text{V}.
  2. Calcular o valor médio da tensão na carga depois da inclusão do capacitor.
Observação: o enunciado não menciona perdas em diodos nem outras perdas; para a resolução usarei a aproximação usual (diodos ideais), que é a hipótese típica nesses exercícios. Se em prova houver indicação de queda de diodo, essa queda deveria ser subtraída do pico — aqui não foi dada, então não a incluí.

Passo 2

Entender a forma do sinal retificado sem capacitor e encontrar o pico do sinal (isso é necessário porque o capacitor carrega até o pico da senóide).
Para uma senóide de amplitude de pico V_m retificada em onda completa, a tensão média (valor médio) sem capacitor é dada por:
V_{\text{média, sem cap}}=\frac{2V_m}{\pi}.é
Isso vem da média sobre um período da função |\sin(\omega t)|, cuja média é 2/\pi. No enunciado temos essa média igual a 15\\ \text{V}, então podemos recuperar V_m isolando:
V_m=\frac{\pi}{2}\,V_{\text{média, sem cap}}.é

Passo 3

Calcular numericamente o pico V_m.
Substituindo V_{\text{média, sem cap}}=15\\ \text{V}é:
V_m=\frac{\pi}{2}\cdot 15.
Agora calcular numericamente (usar \pi\approx3{,}14159):
V_m\approx 1{,}5708\cdot 15 \approx 23{,}56\\ \text{V}.
Portanto o pico da onda retificada (ignorada queda de diodos) é aproximadamente 23{,}56\\ \text{V}.

Passo 4

Explicar a relação entre ripple, corrente de carga, capacitância e frequência do retificador.
Entre dois picos sucessivos da onda retificada em onda completa o capacitor fornece corrente à carga. Esse intervalo de tempo entre picos é
T_r=\frac{1}{f_r},
onde a frequência dos picos para retificação em onda completa é o dobro da frequência da rede:
f_r=2 f_{\text{rede}}.
Enquanto a carga consome corrente praticamente constante I_{\text{carga}}, o capacitor descarrega aproximadamente linearmente (aproximação válida para pequenos ripples), e a variação de tensão no capacitor durante um intervalo é
\Delta V_{pp}=\frac{I_{\text{carga}}}{C}\,T_r.
Rearranjando para C:
C=\frac{I_{\text{carga}}}{f_r\,\Delta V_{pp}}.
Essa fórmula é muito usada: ela vem de \Delta V = \dfrac{I}{C}\Delta t com \Delta t=1/f_r.

Passo 5

Calcular f_r e aplicar a fórmula para C.
A frequência da rede é f_{\text{rede}}=60\\ \text{Hz}, então
f_r=2\cdot 60 = 120\\ \text{Hz}.
Agora aplicar a fórmula com I_{\text{carga}}=0,25\\ \text{A}, \Delta V_{pp}=3\\ \text{V}:
C=\frac{0,25}{120\cdot 3}.
Calcular:
120\cdot 3=360, \qquad C=\frac{0,25}{360}\approx 0{,}00069444\\ \text{F}.
Converter para microfarads:
C\approx 6{,}94\times 10^{-4}\\ \text{F}=694{,}44\\ \mu\text{F}.
Arredondando para um valor prático: C\approx 694\\ \mu\text{F} (num projeto real escolhe-se um valor padrão comercial ligeiramente maior, por exemplo 820\\ \mu\text{F} ou 1000\\ \mu\text{F}).

Passo 6

Calcular a tensão média na carga após a presença do capacitor.
Com o capacitor conectado, a tensão na saída fica próxima ao pico da senóide entre recargas, variando com ripple triangular aproximado de pico a pico \Delta V_{pp}. O valor médio dessa tensão (aproximação razoável para pequeno ripple) é o pico menos metade do ripple:
V_{\text{média, com cap}}\approx V_m-\frac{\Delta V_{pp}}{2}.é
Usando V_m\approx 23{,}56\\ \text{V} e \Delta V_{pp}=3\\ \text{V}:
V_{\text{média, com cap}}\approx 23{,}56 - \frac{3}{2} = 23{,}56 - 1{,}5 \approx 22{,}06\\ \text{V}.é
Observação didática: por que subtrair \Delta V_{pp}/2? Porque, se o ripple é aproximadamente simétrico (formato triangular entre o pico e o vale), a média do segmento é o valor do pico menos metade da amplitude pico-a-pico.

Passo 7

Resumo das hipóteses e precisão:
  • Foi assumido diodos ideais (sem queda). Se existirem diodos com queda V_D, então o pico útil que carrega o capacitor seria V_m - n V_D (por exemplo, numa ponte de diodos n=2) e essa queda deve ser subtraída antes de aplicar a fórmula do valor médio com capacitor.
  • A fórmula usada para C é a aproximação linear válida quando a corrente da carga é praticamente constante durante o intervalo de descarga e o ripple é relativamente pequeno (condição típica em fontes com capacitor de filtro).
Força aí! Com esses passos dá para aplicar direto na prova: primeiro acha o pico da senóide a partir da média do retificado, depois usa C=I/(f_r\Delta V) e finalmente V_{\text{média}} \approx V_{\text{pico}}-\Delta V/2é.

Resposta

\displaystyle C \approx 6{,}94\times10^{-4}\\ \text{F}\\ (\approx 694\\ \mu\text{F})
\displaystyle V_{\text{média na carga}} \approx 22{,}06\\ \text{V}é

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