5-) Calcule a capacitância de um capacitor cilíndrico constituído por um condutor longo de raio r_{a} de densidade de carga linear \lambda e circundado por uma casca cilíndrica coaxial condutora com raio interno r_{b}. Usando a aproximação \ln (1+x) \approx x, mostre que ela se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é pequeno.

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial formado por um fio condutor longo de raio interno r_{a} e densidade de carga linear \lambda, envolvido por uma casca cilíndrica condutora de raio interno r_{b}. Vamos usar Gauss para obter o campo elétrico, integrar para achar a diferença de potencial e então usar a definição de capacitância. Depois aplicaremos a aproximação \ln(1+x)\approx x para x\ll1 e mostraremos que o resultado coincide com o de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento d=r_{b}-r_{a} é pequeno.

Passo 2

Aplique a lei de Gauss num cilindro gaussiano de raio r, com r_{a}<r<r_{b} e comprimento L. A carga total nele é Q=\lambda L. A simetria cilíndrica dá campo radial constante em módulo. Assim,\r
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi r L) = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}.\r
Logo,\r
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 3

A diferença de potencial entre os cilindros interno e externo é\r
\Delta V = V(r_{b}) - V(r_{a}) = -\int_{r_{a}}^{r_{b}} E(r)\,dr = -\int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\biggl(\frac{r_{b}}{r_{a}}\biggr).

Passo 4

A capacitância por unidade de comprimento é definida por\r
C' = \frac{\lambda}{\Delta V} = \frac{\lambda}{\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\bigl(\frac{r_{b}}{r_{a}}\bigr)} = \frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln\!\bigl(\tfrac{r_{b}}{r_{a}}\bigr)}.\r
Se se quiser a capacitância total de um pedaço de comprimento L, basta multiplicar: \r
\;C = C'\,L = \tfrac{2\pi\varepsilon_{0}\,L}{\ln(r_{b}/r_{a})}.

Passo 5

Para espaçamento pequeno defina\r
d = r_{b} - r_{a},\quad d \ll r_{a}.\r
Então\r
\frac{r_{b}}{r_{a}} = 1 + \frac{d}{r_{a}},\qquad \ln\!\bigl(1+\tfrac{d}{r_{a}}\bigr)\approx \frac{d}{r_{a}}.\r
Substituindo em C' :\r
C' \approx \frac{2\pi\varepsilon_{0}}{d/r_{a}} = \frac{2\pi\varepsilon_{0}\,r_{a}}{d}.

Passo 6

Num capacitor de placas paralelas a capacitância por unidade de área é \varepsilon_{0}/d. Aqui a “área” por unidade de comprimento é A/L = 2\pi r_{a}. Logo\r
C' \approx \frac{\varepsilon_{0}}{d}\,(2\pi r_{a}) = \frac{2\pi\varepsilon_{0}\,r_{a}}{d},\r
que coincide com a aproximação obtida no passo anterior. Isso mostra que, para d\ll r_{a}, o capacitor cilíndrico se comporta como um capacitor de placas paralelas.

Resposta

A capacitância por comprimento é\r
C' = \frac{2\pi\varepsilon_{0}}{\ln\!\bigl(\tfrac{r_{b}}{r_{a}}\bigr)},
aproximando para d=r_{b}-r_{a}\ll r_{a},
C' \approx \frac{2\pi\varepsilon_{0}\,r_{a}}{d},
o que equivale ao resultado de um capacitor de placas paralelas com área por comprimento 2\pi r_{a} e distância d.

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