5-) Calcule a capacitância de um capacitor cilíndrico constituído por um condutor longo de raio
de densidade de carga linear
e circundado por uma casca cilíndrica coaxial condutora com raio interno
. Usando a aproximação
, mostre que ela se aproxima da capacitância de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é pequeno.
Passo 1
O enunciado pede a capacitância de um capacitor cilíndrico coaxial formado por um fio condutor longo de raio interno
e densidade de carga linear
, envolvido por uma casca cilíndrica condutora de raio interno
. Vamos usar Gauss para obter o campo elétrico, integrar para achar a diferença de potencial e então usar a definição de capacitância. Depois aplicaremos a aproximação
para
e mostraremos que o resultado coincide com o de um capacitor de placas paralelas quando o espaçamento
é pequeno.
Passo 2
Aplique a lei de Gauss num cilindro gaussiano de raio
, com
e comprimento
. A carga total nele é
. A simetria cilíndrica dá campo radial constante em módulo. Assim,\r
Logo,\r
Passo 3
A diferença de potencial entre os cilindros interno e externo é\r
Passo 4
A capacitância por unidade de comprimento é definida por\r
Se se quiser a capacitância total de um pedaço de comprimento
, basta multiplicar: \r
Passo 5
Para espaçamento pequeno defina\r
Então\r
Substituindo em
:\r
Passo 6
Num capacitor de placas paralelas a capacitância por unidade de área é
. Aqui a “área” por unidade de comprimento é
. Logo\r
que coincide com a aproximação obtida no passo anterior. Isso mostra que, para
, o capacitor cilíndrico se comporta como um capacitor de placas paralelas.
Resposta
A capacitância por comprimento é\r
aproximando para
,
o que equivale ao resultado de um capacitor de placas paralelas com área por comprimento
e distância
.