Uma bola de beisebol de 0,145 \mathrm{~kg} é golpeada por um bastão. Imediatamente antes do impacto, a bola se desloca a 40,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} horizontalmente para a direita e abandona o bastão se movendo com velocidade de 52,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para a esquerda, formando um ângulo de 30^{\underline{\mathrm{o}}} acima da horizontal. Considerando que o bastão e a bola permanecem em contato durante 1,75 \mathrm{~ms}, calcule o módulo do componente horizontal e do componente vertical da força média do bastão sobre a bola.

Passo 1

O enunciado fornece uma bola de massa m=0,145\,\mathrm{kg} que chega ao bastão com velocidade inicial \vec v_i=(40,0\,\mathrm{m/s})\,\hat x e sai com velocidade final de módulo 52,0\,\mathrm{m/s} direcionada para a esquerda a 30^\circ acima da horizontal. O tempo de contato é \Delta t=1,75\times10^{-3}\,\mathrm{s}. Para encontrar a força média, vamos usar o conceito de impulso-momento, isto é,
\vec F_{\text{m}}=\frac{\Delta \vec p}{\Delta t},
onde \Delta \vec p=\vec p_f-\vec p_i.

Passo 2

Calcular o momento inicial \vec p_i. Como não há componente vertical inicial, temos
\vec p_i = m\,\vec v_i = 0,145\,(40,0\,\hat x)= (5,80\,\mathrm{kg\cdot m/s})\,\hat x.

Passo 3

Decompor a velocidade final e calcular o momento final \vec p_f. As componentes de \vec v_f são
v_{fx} = -52,0\cos30^\circ = -52,0\times\frac{\sqrt3}{2}\approx -45,03\,\mathrm{m/s},
v_{fy} = 52,0\sin30^\circ = 52,0\times\frac12 = 26,0\,\mathrm{m/s}.
Logo,
\vec p_f = m\,(v_{fx}\,\hat x + v_{fy}\,\hat y) =(0,145\times -45,03)\,\hat x + (0,145\times 26,0)\,\hat y \approx (-6,529\,\hat x + 3,770\,\hat y)\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Calcular a variação de momento \Delta \vec p:
\Delta p_x = p_{fx}-p_{ix} = -6,529 - 5,80 = -12,329\,\mathrm{kg\cdot m/s},
\Delta p_y = p_{fy}-0 = 3,770\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Aplicar \vec F_{\text{m}}=\Delta\vec p/\Delta t:
F_{x} = \frac{\Delta p_x}{\Delta t} = \frac{-12,329}{1,75\times10^{-3}} \approx -7,0456\times10^{3}\,\mathrm{N},
F_{y} = \frac{\Delta p_y}{\Delta t} = \frac{3,770}{1,75\times10^{-3}} \approx 2,1543\times10^{3}\,\mathrm{N}.

Resposta

O módulo do componente horizontal da força média é 7,05\times10^{3}\,\mathrm{N} e o módulo do componente vertical é 2,15\times10^{3}\,\mathrm{N}.

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