ENERGIA NO MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL Um jogador bate duas bolas idênticas com a mesma velocidade escalar, mas formando dois ângulos iniciais diferentes. Prove que para uma dada altura h as duas bolas possuem a mesma velocidade escalar, supondo que a resistència do ar seja desprezível.

Passo 1

O enunciado diz que duas bolas idênticas são lançadas com a mesma velocidade inicial escalar v_{0}, mas em ângulos diferentes, e pede para mostrar que, ao atingirem uma dada altura h, suas velocidades escalares são iguais.
Conteúdo: conservação de energia mecânica no movimento de projétil.
Vamos usar que, sem resistência do ar, a energia mecânica total se conserva, permitindo relacionar a velocidade em qualquer ponto com a altura alcançada.

Passo 2

Escrevemos a conservação de energia mecânica entre o ponto de lançamento (altura nula) e o ponto onde a bola atinge altura h. No lançamento:
E_{\text{inicial}} = K_{0} + U_{0} = \tfrac12 m v_{0}^{2} + m g \cdot 0 = \tfrac12 m v_{0}^{2}.
Na altura h:
E_{\text{final}} = K + U = \tfrac12 m v^{2} + m g h.
Como E_{\text{inicial}} = E_{\text{final}}, temos
\tfrac12 m v_{0}^{2} = \tfrac12 m v^{2} + m g h.

Passo 3

Isolando v^{2} na equação de conservação de energia, dividimos tudo por m e multiplicamos por 2:
v_{0}^{2} = v^{2} + 2 g h \quad\Longrightarrow\quad v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g h.
Logo, a velocidade escalar na altura h é
v = \sqrt{\,v_{0}^{2} - 2 g h\,}.

Passo 4

A expressão \sqrt{v_{0}^{2} - 2gh} depende apenas de v_{0} e de h, não do ângulo de lançamento. Assim, independentemente do ângulo em que cada bola foi lançada, ao atingirem a mesma altura h ambas terão a mesma velocidade escalar.

Resposta

Ambas as bolas têm velocidade escalar
v = \sqrt{\,v_{0}^{2} - 2 g h\,}
ao atingirem a altura h, logo são iguais.

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